Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

_{<Matematika A3a 2008}

Differenciálegyenletek

Fokszámban homogén egyenletek

1. $y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$

MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u

$u'x+u=\frac{1}{u}+2u$

$u'x=\frac{1+2u^2}{u}$

$\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C$; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,$; $(c_1=\ln C\,)$

$1+2u^2=cx^2\,$; $\qquad(c>0)\,$

Implicit mo.:

$1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,$

Explicit mo.:

$y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)$

Itt $|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}$

2. $x^2y'=xy+y^2\,$

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

$x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2\,$

ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:

$u'x+u=u+u^2\,$

$u'x=u^2\,$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$-\frac{1}{u}=\ln |x|+C\,$; $(C\in\mathbf{R})$

Implicit mo.:

$-x=y\ln c|x|\,$; $(c=\ln C\,)$ és y=0

Explicit mo.:

$y=\frac{-x}{\ln c|x|}\,$ és y=0.

3. $x^2y'=2xy+y^2\,$

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

$u'x+u=2u+u^2\,$

$u'x=u+u^2\,$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{u(u+1)}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$\ln|u|-\ln|u+1|=\ln |x|+C\,$; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln c_1|x|\,$; $(c_1=\ln C\,)$

$\frac{u}{u+1}= cx\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Implicit mo.:

$y= c(xy+x^2)\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Explicit mo.:

$y=\frac{cx^2}{1+cx}\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Kezdetiérték feladat

1. $y'=e^{x-y}\,$; (y(-1)=0)

MO.

$y'=\frac{e^{x}}{e^{y}}\,$

$\int e^y\,\mathrm{d}y=\int e^{x}\mathrm{d}x\,$

Implicit ált. mo.:

$e^y=e^{x}+C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Explicit általános mo.:

$y=\ln(e^{x}+C)\,$

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

$e^{-1}=1+C\,$

$C=\frac{1}{e}-1\,$

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

$y=\ln(e^{x}+\frac{1}{e}-1)\,$

2. $y'=\frac{2xe^{x^2}}{y^5}\,$; (y(0)=-1)

MO.

$\int y^5\,\mathrm{d}y=\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$

Implicit ált. mo.:

$\frac{y^6}{6}=e^{x^2}+C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Explicit általános mo.:

$y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

$-\frac{1}{6}=1+C\,$

$C=-\frac{1}{6}-1=-\frac{7}{6}\,$

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

$y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,$