Szerkesztő:Mozo/A3 gyakorló feladatok 5.

_{<Matematika A3a 2008}

Differenciálegyenletek

Fokszámban homogén egyenletek

1. $y'=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$

MO. u = y / x; y = ux; y' = u'x + u

$u'x+u=\frac{1}{u}+2u$

$u'x=\frac{1+2u^2}{u}$

$\int\frac{u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\int\frac{2u}{1+2u^2}\,\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$

$\frac{1}{2}\ln|1+2u^2|=\ln|x|+C$; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln |1+2u^2|=\ln c_1^2x^2\,$; $(c_1=\ln C\,)$

$1+2u^2=cx^2\,$; $\qquad(c>0)\,$

Implicit mo.:

$1+2\frac{y^2}{x^2}=cx^2\,$

Explicit mo.:

$y=x\cdot\left(\pm\sqrt{\frac{c}{2}}\sqrt{x^2-\frac{1}{c}}\right)$

Itt $|x|>\frac{1}{\sqrt{c}}$

2. $x^2y'=xy+y^2\,$

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

$x^2(u'x+u)=ux^2+u^2x^2\,$

ahonnan intervallumon értelmezett megoldás esetén:

$u'x+u=u+u^2\,$

$u'x=u^2\,$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$-\frac{1}{u}=\ln |x|+C\,$; $(C\in\mathbf{R})$

Implicit mo.:

$-x=y\ln c|x|\,$; $(c=\ln C\,)$ és y=0

Explicit mo.:

$y=\frac{-x}{\ln c|x|}\,$ és y=0.

3. $x^2y'=2xy+y^2\,$

MO. y≡0 konstans mo. y=ux helyettesítéssel:

$u'x+u=2u+u^2\,$

$u'x=u+u^2\,$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{u(u+1)}=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$\int\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\mathrm{d}u=\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\,$

$\ln|u|-\ln|u+1|=\ln |x|+C\,$; $(C\in\mathbf{R})$

$\ln\left|\frac{u}{u+1}\right|=\ln c_1|x|\,$; $(c_1=\ln C\,)$

$\frac{u}{u+1}= cx\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Implicit mo.:

$y= c(xy+x^2)\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Explicit mo.:

$y=\frac{cx^2}{1+cx}\,$; $(c\in\mathbf{R})$

Kezdetiérték feladat

1. $y'=e^{x-y}\,$; (y(-1)=0)

MO.

$y'=\frac{e^{x}}{e^{y}}\,$

$\int e^y\,\mathrm{d}y=\int e^{x}\mathrm{d}x\,$

Implicit ált. mo.:

$e^y=e^{x}+C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Explicit általános mo.:

$y=\ln(e^{x}+C)\,$

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

$e^{-1}=1+C\,$

$C=\frac{1}{e}-1\,$

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

$y=\ln(e^{x}+\frac{1}{e}-1)\,$

2. $y'=\frac{2xe^{x^2}}{y^5}\,$; (y(0)=-1)

MO.

$\int y^5\,\mathrm{d}y=\int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x$

Implicit ált. mo.:

$\frac{y^6}{6}=e^{x^2}+C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Explicit általános mo.:

$y=\pm\sqrt[6]{6e^{x^2}+6C}\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Behelyettesítve az implicit ált. mo-ba:

$-\frac{1}{6}=1+C\,$

$C=-\frac{1}{6}-1=-\frac{7}{6}\,$

A kezdeti feltételt kielégítő mo.:

$y=-\sqrt[6]{6e^{x^2}-7}\,$

Egzaktra visszavezethető

1. $\frac{1}{x^4}-3y^2=xyy'\,$

MO.:

$(\frac{1}{x^4}-3y^2)\,\mathrm{d}x-xy\,\mathrm{d}y=0\,$

$\partial_y(\frac{1}{x^4}-3y^2)-\partial_x(-xy)=-6y+y=-5y$

$R(x)=\frac{-5y}{-xy}=\frac{5}{x}$

$\mu(x)=e^{\int \frac{5}{x}\mathrm{d}x}=e^{5\ln|x|}=|x|^5$

Tehát x⁵ alkalmas integráló szorzó.

$x-3x^5y^2-x^6yy'=0\,$

Innen az

$(\partial x F,\partial_y F)=(x-3x^5y^2,-x^6y)$

egy megoldását megkeresve:

$F=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2+C_1(y)\,$

$F=-\frac{1}{2}x^6y^2+C_2(x)\,$

ahonnan:

$F(x,y)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x^6y^2$

És az implicit általános megoldás:

$x^2-x^6y^2=C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

(Az explicit pedig:

$y=\pm\sqrt{\frac{x^2+C}{x^6}}$)

2. $1+(x-e^{-y})y'=0\,$

MO.:

$1\mathrm{d}x+(x-e^{-y})\mathrm{d}y=0\,$

$\partial_y1-\partial_x(x-e^{-y})=-1\,$

$S(y)=-1\,$

$\mu(y)=e^{-\int -1\mathrm{d}y}=e^y\,$

integráló szorzó.

$e^{y}\mathrm{d}x+(xe^{y}-1)\mathrm{d}y=0\,$

$(\partial x F,\partial_y F)=(e^{y},xe^{y}-1)$

egy megoldását megkeresve:

$F=xe^{y}+C_1(y)\,$

$F=xe^{y}-y+C_2(x)\,$

ahonnan:

$F(x,y)=xe^{y}-y\,$

És az implicit általános megoldás:

$xe^{y}-y=C\,$; ($C\in\mathbf{R}$)

Lineáris argumentumú egyenlet

1. $y'=(4x-y)^2\,$

MO. u=4x-y; u'=4-y'

$4-u'=u^2\,$

$4-u^2=u'\,$; konstans megoldások: $u= \pm 2$

$\int\frac{\mathrm{d}u}{4-u^2}=\int 1\mathrm{d}x$; (ha $u\ne \pm 2$)

$-\int\frac{\mathrm{d}u}{(u-2)(u+2)}=\int 1\mathrm{d}x$

$-\int\frac{\frac{1}{4}}{u-2}-\frac{\frac{1}{4}}{u+2}\mathrm{d}u=\int 1\mathrm{d}x$

$-\frac{1}{4}\ln|u-2|+\frac{1}{4}\ln|u+2|=x+C$

Implicit általános megoldás:

$\sqrt[4]{\left|\frac{4x-y+2}{4x-y-2}\right|}=e^{x+C}$ és az szeparálással ki nem hozható két megoldás: $y=4x\pm 2\,$

2. $y'=\cos^2(x+y)-1\,$

MO. u=x+y; u'=1+y'

$u'-1=\cos^2(u)-1\,$; konstans megoldások: $u=\frac{\pi}{2}+k\pi$

$\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos^2u}=\int 1\,\mathrm{d}x\,$; (ha $u\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$)

$\mathrm{tg}(u)=x+C\,$

Implicit általános mo.:

$\mathrm{tg}(x+y)=x+C\,$ és a szeparálással ki nem hozható megoldások: $y=-x+\frac{\pi}{2}+k\pi$

Függvényegyütthatós lineáris egyenlet

1. $y'-\frac{3}{x}y=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}$

MO. I.) Homogén. y≡0 mo.

$\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int\frac{3}{x}\mathrm{d}x=$

$\ln|y|=3\ln|x|+C\,$

$y=cx^3\,$

II.) Az inhomogén partikuláris megoládást

$y=c(x)x^3\,$

alakban keressük.

$y'=c'x^3+c3x^2\,$

Behelyettesítés után:

$c'x^3+3cx^2-3cx^2=\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}$

$c'=\frac{-1}{2}\frac{-2}{x^3}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{x^2}\right)}$

$c=\frac{-1}{2}\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)$

így az általános mo.:

$y=cx^3+\frac{-1}{2}x^3\mathrm{tg}\left(\frac{1}{x^2}\right)$

2. $y'+(\ln x^3)y=\ln x\,$

MO. I.) Homogén. y≡0 (x>0) mo.

$\int\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\int -3\ln x\,\mathrm{d}x$

$\ln|y|=-3(x+x\ln x)+C\,$

$y=ce^{-3(x+x\ln x)}\,$

II.) Az inhomogén partikuláris megoládást

$y=c(x)e^{-3(x+x\ln x)}\,$

alakban keressük. Behelyettesítés után:

$c'e^{-3(x+x\ln x)}+ce^{-3(x+x\ln x)}(-3\ln x)+ce^{-3(x+x\ln x)}\ln x^3=\ln x\,$

$c'=e^{3(x+x\ln x)}\ln x\,$

$c=\frac{1}{3}e^{3(x+x\ln x)}$

így az általános mo.:

$y=ce^{-3(x+x\ln x)}+\frac{1}{3}$

Laplace-transzformációval megoldható feladatok

1. x(0)=1; y(0)=-1 kedzeti feltétellel oldja meg az

$\dot{x}=3x+4y$

$\dot{y}=4x+3y$

egyenletrendszert!

MO.