Szerkesztő:Mozo/Linalg gyakorló 3.
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
| 3. sor: | 3. sor: | ||
''Mo.'' Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor <math>|F|\leq|B|\leq |G|</math>. <math>L_1</math> egy ''B'' bázisa lineárisan független rendszer <math>L</math>-ben, így <math>|B|\leq n</math>, ahol <math>n=\mathrm{dim}\,L</math>. | ''Mo.'' Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor <math>|F|\leq|B|\leq |G|</math>. <math>L_1</math> egy ''B'' bázisa lineárisan független rendszer <math>L</math>-ben, így <math>|B|\leq n</math>, ahol <math>n=\mathrm{dim}\,L</math>. | ||
| − | Most tegyük fel indirekten, hogy |B|=n. | + | Most tegyük fel indirekten, hogy |B|=n. Van olyan ''v'' vektor <math>L</math>-ben, ami független B-től, mert ha nem lenne, akkor B generátorrendszere lenne L-nek, amiből az következne, hogy <math>L_1</math>=<math>L</math> lenne. BU{v} tehát független rendszer, azaz van L-ben n+1 elemű független rendszer. De L minden független rendszere legfeljebb csak n elemű, ami ellentmondás. |
A lap 2010. március 11., 14:35-kori változata
1. Legyen L1 valódi altere az L vektortérnek (az az L1
L). Igazoljuk, hogy ekkor 
.
Mo. Először is hivatkozunk arra, hogy ha F független rendszer, B bázis és G generátorrendszer, akkor 
. L1 egy B bázisa lineárisan független rendszer L-ben, így 
, ahol 
.
Most tegyük fel indirekten, hogy |B|=n. Van olyan v vektor L-ben, ami független B-től, mert ha nem lenne, akkor B generátorrendszere lenne L-nek, amiből az következne, hogy L1=L lenne. BU{v} tehát független rendszer, azaz van L-ben n+1 elemű független rendszer. De L minden független rendszere legfeljebb csak n elemű, ami ellentmondás.
