Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 12., 16:51-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Lineáris differenciálegyenletek
2 Geometriai tenzorok
3 Stokes-tétel
4 Abel-tétel
- 4.1 Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
- 4.2 Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága
5 Laurent-sorba fejtés
6 Cauchy-féle integrálformulák

Lineáris differenciálegyenletek

Geometriai tenzorok

Stokes-tétel

Abel-tétel

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Definíció – Legyen (a_n) komplex számsorozat és z₀ ∈ C. Ekkor a

∑(a_n(id_C-z₀)ⁿ)

függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

$z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

hozzárendelési utasítással értelmezett, a

{z ∈ | ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergál }

halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z₀, együtthatósorozata (a_n).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, $c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}$ és

$R=\left\{ \begin{matrix} 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\ +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\ \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty \end{matrix} \right.$

akkor ∑(a_nzⁿ) abszolút konvergens a B_R(0) gömbön és divergens a B_1/R(∞) gömbön.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.

Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$

Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az

$\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n\,$

sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}\to 0$

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, akkor az ∑(a_nzⁿ) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ C^ω(z₀) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z₀).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=$

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

$=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

$\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n$

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

$\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,$

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑_n|a_n|nrⁿ)=:δ

$\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.$

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}$

@@ 3. sor: / 3. sor: @@
 ==Stokes-tétel==
 ==Abel-tétel==
+===Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok===
+'''Definíció''' –  Legyen (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat és ''z''<sub>0</sub> &isin; '''C'''. Ekkor a
+:&sum;(''a''<sub>n(</sub>id<sub>'''C'''</sub>-z<sub>0</sub>)<sup>n</sup>)
+függvénysort '''hatványsor'''nak nevezzük és összegét, az
+:<math>z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n</math>
+hozzárendelési utasítással értelmezett, a
+:{''z'' &isin; | &sum;(''a''<sub>n</sub>(z-''z''<sub>0</sub>)<sup>n</sup>) konvergál }
+halmazon értelmezett függvényt a hatványsor '''összegének''' nevezzük. Középpontja ''z''<sub>0</sub>, együtthatósorozata (''a''<sub>n</sub>).
+A továbbiakban csak a  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
+'''Tétel''' – ''Cauchy–Hadamard-tétel'' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, <math>c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}</math> és
+:<math>R=\left\{
+\begin{matrix}
+,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\
++\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\
+\frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty
+\end{matrix}
+\right.</math>
+akkor  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) abszolút konvergens a B<sub>R</sub>(0) gömbön és divergens a  B<sub>1/R</sub>(&infin;) gömbön.
+''Bizonyítás.'' Nyilvánvaló, hogy a [[User:Mozo/_A2_bizonyítások#Cauchy-féle gyökkritérium|Cauchy-féle gyökkritériumot]] kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál '''C'''-ben.
+''Megjegyzés.'' A tételbeli ''R'' sugarat a hatványsor ''konvergenciasugarának'' nevezzük. ''R''-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a '''hányadoskritérium''' alapján, hogy
+:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}</math>
+akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
+:<math>\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''</math>
+ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
+'''Példa.''' Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:
+:<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}</math>
+'''Példa.'''Minden ''z'' &isin; '''C'''-re konvergens az
+:<math>\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n\,</math>
+sor, mert konvergenciasugara &infin;. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:
+:<math>\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}\to 0</math>
+===Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága===
+'''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az  &sum;(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
+Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: ''f'' &isin; C<sup>&omega;</sup>(''z''<sub>0</sub>) akkor és csak akkr, ha ''f'' &isin; Reg(''z''<sub>0</sub>).
+''Bizonyítás.'' Legyen ''z'' a konvergenciakör egy belső pontja és &Delta;''z'' olyan, hogy még ''z'' + &Delta;''z'' is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
+: <math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n=
+\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=</math>
+mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
+:<math>=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
+vagy ha tetszik nemnulla &Delta;''z''-vel:
+:<math>\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}</math>
+a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
+:<math>\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n</math>
+ahol r olyan pozitív szám, hogy | ''z'' + &Delta;''z'' | < r < R (ez  utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
+:<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math>
+Így azt kaptuk, hogy minden olyan  &Delta;''z''-re, melyre | ''z'' + &Delta;''z'' | < r, teljesül és |&Delta;''z''| <&epsilon;/(1+&sum;<sub>n</sub>|a<sub>n</sub>|nr<sup>n</sup>)=:&delta;
+:<math>\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.</math>
+Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
+:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math>
 ==Laurent-sorba fejtés==
 ==Cauchy-féle integrálformulák==

Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A lap 2008. december 12., 16:51-kori változata

Tartalomjegyzék

Lineáris differenciálegyenletek

Geometriai tenzorok

Stokes-tétel

Abel-tétel

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Laurent-sorba fejtés

Cauchy-féle integrálformulák

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök