Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 12., 18:26-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Lineáris differenciálegyenletek
2 Geometriai tenzorok
3 Stokes-tétel
4 Abel-tétel
- 4.1 Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
- 4.2 Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága
5 Laurent-sorba fejtés
6 Cauchy-féle integrálformulák

Lineáris differenciálegyenletek

Geometriai tenzorok

Stokes-tétel

Abel-tétel

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Definíció – Legyen (a_n) komplex számsorozat és z₀ ∈ C. Ekkor a

∑(a_n(id_C-z₀)ⁿ)

függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

$z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

hozzárendelési utasítással értelmezett, a

{z ∈ | ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergál }

halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z₀, együtthatósorozata (a_n).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, $c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}$ és

$R=\left\{ \begin{matrix} 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\ +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\ \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty \end{matrix} \right.$

akkor ∑(a_nzⁿ) abszolút konvergens a B_R(0) gömbön és divergens a B_1/R(∞) gömbön.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.

Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$

Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az

$\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n\,$

sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}\to 0$

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, akkor az ∑(a_nzⁿ) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ C^ω(z₀) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z₀).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=$

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

$=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

$\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n$

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

$\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,$

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑_n|a_n|nrⁿ)=:δ

$\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.$

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}$

Laurent-sorba fejtés

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C $\supset\!\to$ C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

$T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}$

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (c_n)_n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}$

hogy a

$\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)$

függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k₁ és k₂ két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k₁ és k₂ körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k₁ kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k₂ kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

$\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)$

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k₂)-n vett integrál ellenkezője a 'k₂-vettének, így végülis:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

$w\mapsto\frac{1}{w-z}\,$

az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}$

Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis $q=\frac{w-a}{z-a}$ -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:

$\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n$

1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k₂-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=$

az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért

$=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w$

Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}$

Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k₂ helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k₂-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.

2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}$

Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED

@@ 67. sor: / 67. sor: @@
 ==Laurent-sorba fejtés==
+'''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' &isin; '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +&infin; olyan sugarak, hogy ''f'' az
+:<math>T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}</math>
+nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (''c''<sub>n</sub>)<sub>n&isin;'''Z'''</sub> komplex számok, éspedig tetszőleges a ''T''-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló ''G'' görbére:
+:<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}</math>
+hogy a
+:<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math>
+függvénysor konvergens ''T''-ben és minden ''z'' &isin; ''T'' számra:
+:<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math>
+''Bizonyítás.''  ''f''-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az ''a'' pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
+Rögzítsük egy tetszőlegesen választott ''z'' &isin; ''T''-t. Legyenek ''k''<sub>1</sub> és  ''k''<sub>2</sub> két ''a'' középpontú, ''T''-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy  ''z'' a ''k''<sub>1</sub> és ''k''<sub>2</sub> körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy ''k''<sub>1</sub> kezdő és végpontja az ''s'' kezdőpontja, ''k''<sub>2</sub> kezdő és végpontja pedig az ''s'' végpontja. Legyen
+:<math>\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)</math>
+itt (-s) az ''s''-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor &Gamma;  a ''z''-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
+:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
+Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-''k''<sub>2</sub>)-n vett integrál ellenkezője a 'k''<sub>2</sub>-vettének, így végülis:
+:<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math>
+Hangsúlyozzuk, hogy ''z'' és ''a'' most konstansok, így a
+:<math>w\mapsto\frac{1}{w-z}\,</math>
+az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az ''a'' középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a ''z'' szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
+:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}</math>
+Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis <math>q=\frac{w-a}{z-a}</math>-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
+:<math>\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n</math>
+) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a ''k''<sub>2</sub>-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
+:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=</math>
+az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
+:<math>=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w</math>
+Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -&infin;-ig menjen:
+:<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}</math>
+Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
+) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a  |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
+:<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}</math>
+Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
 ==Cauchy-féle integrálformulák==

Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A lap 2008. december 12., 18:26-kori változata

Tartalomjegyzék

Lineáris differenciálegyenletek

Geometriai tenzorok

Stokes-tétel

Abel-tétel

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Laurent-sorba fejtés

Cauchy-féle integrálformulák

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök