Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Abel tétele) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Hatványsorok összegfüggvényének differenciálhatósága) |
||
45. sor: | 45. sor: | ||
===Hatványsorok összegfüggvényének differenciálhatósága=== | ===Hatványsorok összegfüggvényének differenciálhatósága=== | ||
− | + | Reguláris egy függvény, ha egy nyílt halmazon komplex differenciálható. A hatványsorok ilyenek. | |
− | '' | + | '''Tétel''' – Ha (''a''<sub>n</sub>) komplex számsorozat, akkor az ∑(''a''<sub>n</sub>z<sup>n</sup>) hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható a konvergenciakör belsejében. |
− | + | ||
− | + | Másként fogalmazva: | |
− | + | ||
− | + | '''Analitikus függvény reguláris.''' | |
− | + | ||
− | + | ''Bizonyítás.'' Ha R a konvergenciasugár, akkor legyen | |
− | a | + | :<math>z\in \mathrm{B}_{R}(0)\,</math> |
− | :<math>\ | + | és Δ''z'' olyan, hogy |
− | + | :<math>z+\Delta z\in \mathrm{B}_{R}(0)\,</math> | |
− | :<math>\ | + | |
− | + | A következő függvény ''z''-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni: | |
− | :<math> | + | :<math>P(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n\,</math> |
+ | |||
+ | Nem árulunk zsákbamacskát, '''formális''' tagonkénti deriválással megkapható az a sor, mely ennek a függvénynek a jövendőbeli deriváltja lesz: | ||
− | |||
:<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math> | :<math>\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}</math> | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< r < R, akkor a konvergenciasugara: | ||
+ | |||
+ | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|\cdot n }=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}\cdot 1=\frac{1}{R}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést! | ||
+ | |||
+ | :<math>\left|\frac{P(z+\Delta z)-P(z)}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} nz^{n-1}\right|=</math> | ||
+ | :<math>=\left|\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}n z^{n-1}\right|=</math> | ||
+ | :<math>=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\left(\frac{(z+\Delta z)^n-z^n}{\Delta z}-n z^{n-1}\right)\right|=</math> | ||
+ | |||
+ | ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó | ||
+ | :<math>(A+B)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}A^kB^{n-k}\,</math> | ||
+ | algebrai azonossággal alakÍtjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunl és amit lehet kiemelünk: | ||
+ | :<math>=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{(z+\Delta z)^n-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)}{\Delta z}\right|=</math> | ||
+ | :<math>=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)+\sum\limits_{k=0}^{n}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}\right|=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}\right|=</math> | ||
+ | :<math>=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^{k-1}z^{n-k}\right|=|\Delta z|\cdot\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^{k-2}z^{n-k}\right|</math> | ||
+ | |||
+ | Azt kell ellenőrizni, hogy az abszolútértékbeli sor konvergens. Ezt a gyökkritériummal látjuk be. Legyen r olyan pozitív szám, hogy | ''z''|, |Δ''z'' | < r < R. Ilyet találunk, mert a <math>\mathrm{B}_R(0)</math> nyílt. Ekkor | ||
+ | :<math>\left|a_n\sum\limits_{k=2}^{n}\Delta z^{k-2}z^{n-k}\right|\leq|a_n|\cdot (n-1) r^{n-2}</math> | ||
+ | ahol (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És | ||
+ | :<math>\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{|a_n|\cdot (n-1) r^n}{r^2}}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot \frac{1}{1} \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,</math> | ||
+ | De akkor a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató ''z''-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor. | ||
+ | |||
+ | De! Ez is egy hatványsor, ami ugyanilyen módon és ugyanazon a halmazon deriválhaó, azaz végül azt kaptuk, hogy a hatványsor nemcsak egyszer, de végtelenszer differenciálható. Azt, hogy a Taylor-sora saját maga, a Taylor-sor létezési és egyértelműségi tételéből fog következni és mivel P előállítja saját magát, ezért persze analitikus (bár a hatványsor-előálíthatóság ezesetben a nyilvánvalónál is triviálisabb). | ||
==Cauchy-féle integrálformulák== | ==Cauchy-féle integrálformulák== |
A lap 2008. december 12., 21:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris differenciálegyenletek
Geometriai tenzorok
Stokes-tétel
Hatványsor
Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
Definíció – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor a
- ∑(an(idC-z0)n)
függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a
- {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál }
halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.
Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:
Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az
sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:
Hatványsorok összegfüggvényének differenciálhatósága
Reguláris egy függvény, ha egy nyílt halmazon komplex differenciálható. A hatványsorok ilyenek.
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható a konvergenciakör belsejében.
Másként fogalmazva:
Analitikus függvény reguláris.
Bizonyítás. Ha R a konvergenciasugár, akkor legyen
és Δz olyan, hogy
A következő függvény z-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni:
Nem árulunk zsákbamacskát, formális tagonkénti deriválással megkapható az a sor, mely ennek a függvénynek a jövendőbeli deriváltja lesz:
Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< r < R, akkor a konvergenciasugara:
Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést!
ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó
algebrai azonossággal alakÍtjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunl és amit lehet kiemelünk:
Azt kell ellenőrizni, hogy az abszolútértékbeli sor konvergens. Ezt a gyökkritériummal látjuk be. Legyen r olyan pozitív szám, hogy | z|, |Δz | < r < R. Ilyet találunk, mert a BR(0) nyílt. Ekkor
ahol (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
De akkor a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató z-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor.
De! Ez is egy hatványsor, ami ugyanilyen módon és ugyanazon a halmazon deriválhaó, azaz végül azt kaptuk, hogy a hatványsor nemcsak egyszer, de végtelenszer differenciálható. Azt, hogy a Taylor-sora saját maga, a Taylor-sor létezési és egyértelműségi tételéből fog következni és mivel P előállítja saját magát, ezért persze analitikus (bár a hatványsor-előálíthatóság ezesetben a nyilvánvalónál is triviálisabb).
Cauchy-féle integrálformulák
Laurent-sorba fejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED