Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 13., 00:02-kori változata

Tartalomjegyzék

1 Lineáris differenciálegyenletek
2 Geometriai tenzorok
3 Stokes-tétel
4 Analitikus függvény reguláris
- 4.1 Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
- 4.2 A tétel
5 Komplex körintegrálok
6 Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés

Lineáris differenciálegyenletek

Geometriai tenzorok

Stokes-tétel

Analitikus függvény reguláris

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Definíció – Legyen (a_n) komplex számsorozat és z₀ ∈ C. Ekkor a

∑(a_n(id_C-z₀)ⁿ)

függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

$z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

hozzárendelési utasítással értelmezett, a

{z ∈ | ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergál }

halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z₀, együtthatósorozata (a_n).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, $c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}$ és

$R=\left\{ \begin{matrix} 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\ +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\ \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty \end{matrix} \right.$

akkor ∑(a_nzⁿ) abszolút konvergens a B_R(0) gömbön és divergens a B_1/R(∞) gömbön.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.

Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$

Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az

$\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n\,$

sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}\to 0$

A tétel

Reguláris egy függvény, ha egy nyílt halmazon komplex differenciálható. A hatványsorok ilyenek.

Tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, akkor az ∑(a_nzⁿ) hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható a konvergenciakör belsejében.

Másként fogalmazva:

Analitikus függvény reguláris. Hiszen, ha f analitikus, akkor lokálisan hatványsor.

Bizonyítás. Ha R a konvergenciasugár, akkor legyen

$z\in \mathrm{B}_{R}(0)\,$

és Δz olyan, hogy

$z+\Delta z\in \mathrm{B}_{R}(0)\,$

A következő függvény z-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni:

$P(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n z^n\,$

Nem árulunk zsákbamacskát, formális tagonkénti deriválással megkapható az a sor, mely ennek a függvénynek a majdani deriváltja lesz:

$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}$

Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< r < R, akkor a konvergenciasugara:

$\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|\cdot n }=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}\cdot 1=\frac{1}{R}\,$

Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést!

$\left|\frac{P(z+\Delta z)-P(z)}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} nz^{n-1}\right|=$

$=\left|\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}n z^{n-1}\right|=$

$=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\left(\frac{(z+\Delta z)^n-z^n}{\Delta z}-n z^{n-1}\right)\right|=$

ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó

$(A+B)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}A^kB^{n-k}\,$

algebrai azonossággal alakÍtjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunl és amit lehet kiemelünk:

$=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{(z+\Delta z)^n-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)}{\Delta z}\right|=$

$=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{-z^n-n z^{n-1}(\Delta z)+\sum\limits_{k=0}^{n}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}\right|=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\frac{\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^kz^{n-k}}{\Delta z}\right|=$

$=\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^{k-1}z^{n-k}\right|=|\Delta z|\cdot\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=2}^{n}(\Delta z)^{k-2}z^{n-k}\right|$

Azt kell ellenőrizni, hogy az abszolútértékbeli sor konvergens. Ezt a gyökkritériummal látjuk be. Legyen r olyan pozitív szám, hogy | z|, |Δz | < r < R. Ilyet találunk, mert a $B R (0)$ nyílt. Ekkor

$\left|a_n\sum\limits_{k=2}^{n}\Delta z^{k-2}z^{n-k}\right|\leq|a_n|\cdot (n-1) r^{n-2}$

ahol (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

$\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{|a_n|\cdot (n-1) r^n}{r^2}}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot \frac{1}{1} \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,$

De akkor a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató z-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor.

De! Ez is egy hatványsor, ami ugyanilyen módon és ugyanazon a halmazon deriválható, azaz végül azt kaptuk, hogy a hatványsor nemcsak egyszer, de végtelenszer is differenciálható. Azt, hogy a Taylor-sora saját maga, a Taylor-sor létezési és egyértelműségi tételéből fog következni és mivel P előállítja saját magát, ezért persze analitikus (bár a hatványsor-előállíthatóság ezesetben a nyilvánvalónál is triviálisabb).

Komplex körintegrálok

Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámitásával foglalkozunk.

Az f folytonos komplex függvény komplex integrálját egy szakaszonként folytonosan differenciálható G: [a,b] $\to$ C görbe mengtén értelmezhetjük közvetlenül a C síkon a

$\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^nf(\zeta_i)\cdot \Delta z_i & \longrightarrow & \int\limits_{G}f(z)\,\mathrm{d}z\\ & n\to \infty & \\ & \forall z_i\in G, \;\forall \zeta_i\in \Delta z_i &\\ & |\Delta z_i|\to 0 & \end{matrix}$

Riemann-közelítőösszeg határátmenetével vagy a síkbeli vonalintegrálra visszavezetve. Ez utóbbi esetben válik kifehezetten szembetűnővé, hogy a fenti képletben a $\cdot$ szorzás a komplex szorzás. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z = \int\limits_{G} u\mathrm{d}x-v\mathrm{d }y + i\int\limits_{G} u\mathrm{d}y+v\mathrm{d }x$

Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a

$\mathbf{P}=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$ és $\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}$

segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a

$\mathbf{P}'=\begin{pmatrix}-v\\-u\end{pmatrix}$ és $\mathbf{Q}'=\begin{pmatrix}u\\-v\end{pmatrix}$

segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.

Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = ( $s 1$ , $s 2$ ) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a ( $s 1$ , $s 2$ ) vektormező vonalintegrálja.

$\int\limits_{F} \mathbf{S}\,\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{''F''} s_1 \mathrm{d}y-s_2\mathrm{d}x$

megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.

(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)

Primitívfüggvény

A G: [a,b] $\to$ C görbe zárt görbe, ha G(a)=G(b). A zárt görbére vett integrál a körintegrál.

Az első eszköz a Newton--Leibniz-formulából következik, hisz ha F'=f, akkor ∫_z^w f = F(w) - F(z).

Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó zárt görbén eltűnik:

$\oint f=0\,$

Példa. Az $f(z)=\frac{1}{z^2}$ -nek van primitívfüggvény, így körintegrálja mindenütt eltűnik.

Példa. Paraméteresen kiszámolható, hogy

$\oint\limits_{|z|=r} \frac{1}{z}=2\pi i\,$

akrámilyen r > 0 sugárra. Tehát a teljes C \ {0}-n a reciproknak nincs primitívfüggvénye. (De egyszeresen összefüggő, a 0-t nem tartalmazó tartományon már van: a logaritmus.)

A komplex analízis főtétele

A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Gauss-tételhez, ha többet akarunk mondani:

Gauss-tétel (R²-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, síktartomány és legyen G : r=r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor

$\oint\limits_{G} \mathbf{v}(\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{f}=\int\limits_{D} \mathrm{div}\,(\mathbf{v})\mathrm{d}f$

A tételben rendkívül lényeges az egyszeres összefüggőség kitétel (ahogy a folytonos differenciálhatóság is). Gondoljunk csak a térbeli v(r) = r/|r|³ vektormezőre. Ennek körintegrálja az origóközéppontú gömbön 4π, miközben a divergenciája mindenhol 0.

Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P ' és Q ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt a divergenciákat ki kell kiszámítanunk:

$\mathrm{div}\mathbf{P}'=-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}=0$

$\mathrm{div}\mathbf{Q}'=\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}=0$

Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.

Innen

$\int\limits_{G}f(z)\mathrm{d}z=0$

Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:

Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:

$\oint\limits_{\partial T}f=0\,$

Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:

Cauchy-tétel vagy Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:

$\oint\limits_{G} f=0\,$

Cauchy-formula

A Cauchy-formula azért múlhatatlan fontosságú, mert ennek a kifejezetten komplex jellegű állításnak a következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.

Tétel. Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z$

Bizonyítás. Vegyünk a $z 0$ körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és r > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét:

$\Gamma=G^\frown s^\frown (-K)^\frown(-s)$

Világos, hogy ekkor a Γ-ra vett körintegrál eltűnik, másrész szakaszonként intergálva a Γ-n:

$0=\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z+\oint\limits_{s}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z-\oint\limits_{K}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z-\oint\limits_{s}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z$

mivel az s-en oda-vissza integrálva az integrálösszeg nulla és a Γ-ban a negatívan irányított K-t kell venni. Emiatt:

$\oint\limits_{G}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{K}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z$

Vagy hivatkozva egy a gyakorlaton vett lemmára: egyetlen izolált szinguláris hely körüli görbén az integrál ugyanaz, mint az integrál a pont körüli kis körön.

Márcsak ennek az f( $z 0$ )-lal arányos voltát kell belátni:

$\oint\limits_{K}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z=\oint\limits_{K}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z+\oint\limits_{K}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z$

ebből a tagok:

$\oint\limits_{K}\frac{f(z_0)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z=f(z_0)\oint\limits_{K}\frac{1}{z-z_0}\,\mathrm{d}z=f(z_0)\cdot 2\pi i$

minthogy a reciprok körintegrálja 2πi (egy egyszerű zárt görbén).

másrészt az f függvény $z 0$ -beli folytonossága miatt tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan $z 0$ körüli környezet, hogy ha K abban van, azaz a sugara, az r elég kicsi, akkor |f(z)-f( $z 0$ )| < ε; emiatt

$\left|\oint\limits_{K}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z\right|\leq \oint\limits_{K}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\right|\,\mathrm{d}|z|=$

$=\oint\limits_{K}\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}\,\mathrm{d}|z|<\oint\limits_{|z-z_0|=r}\frac{\varepsilon}{|z-z_0|}\,\mathrm{d}|z|$

$=\frac{\varepsilon}{r}\cdot \oint\limits_{|z-z_0|=r}\,\mathrm{d}|z|=\frac{\varepsilon}{r}\cdot 2\pi r=2\pi \varepsilon\to 0$

Vagyis az utolsó tag nulla így a formulát megkaptuk.

Riemann-tétel

Tétel. Legyen U nyilt tartomány, $z 0$ ∈ U. Ha f az U\{ $z 0$ }-on reguláris és korlátos, akkor minden U-beli körintegrálja eltűnik.

Bizonyítás. Belátjuk, az f Laurent-sora csak reguláris részből áll a $z 0$ körül. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és K_r r sugarú körre:

$|c_{-k}|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{K_r}f(z)(z-z_0)^{k-1}\mathrm{d}z\right|\leq\frac{1}{2\pi}\oint\limits_{K_r}|f(z)||(z-z_0)^{k-1}|\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi}K^2\cdot 2\pi r\to 0$

hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.

f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.

Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés

Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C $\supset\!\to$ C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az

$T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}$

nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (c_n)_n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:

$c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}$

hogy a

$\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)$

függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n$

Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.

Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k₁ és k₂ két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k₁ és k₂ körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k₁ kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k₂ kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen

$\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)$

itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k₂)-n vett integrál ellenkezője a 'k₂-vettének, így végülis:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w$

Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a

$w\mapsto\frac{1}{w-z}\,$

az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}$

Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis $q=\frac{w-a}{z-a}$ -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:

$\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n$

1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k₂-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=$

az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért

$=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w$

Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:

$-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}$

Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k₂ helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k₂-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.

2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:

$\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}$

Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED

Következmény. Reguláris függvény analitikus.

Következmény. Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az f függvény $z 0$ izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésben

pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszüntethető,
pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék $z 0$ -ban,
pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék $z 0$ -ban.

@@ 94. sor: / 94. sor: @@
 Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámitásával foglalkozunk.
-Az ''f'' folytonos komplex függvény komplex integrált egy szakaszonként folytonosan differenciálható ''G'': [a,b] <math>\to</math> '''C''' görbe mengtén értelmezhetjük közveltenül a '''C''' síkon a
+Az ''f'' folytonos komplex függvény komplex integrálját egy szakaszonként folytonosan differenciálható ''G'': [a,b] <math>\to</math> '''C''' görbe mengtén értelmezhetjük közvetlenül a '''C''' síkon a
 :<math>\begin{matrix}