Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Abel-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Laurent-sorba fejtés) |
||
67. sor: | 67. sor: | ||
==Laurent-sorba fejtés== | ==Laurent-sorba fejtés== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' -- A Laurent-sor tétele -- Ha az ''f'': '''C''' <math>\supset\!\to</math> '''C''' és ''a'' ∈ '''C''' szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy ''f'' az | ||
+ | :<math>T=\{z\in \mathbf{C}\mid r<|z-a|<R\,\}</math> | ||
+ | nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (''c''<sub>n</sub>)<sub>n∈'''Z'''</sub> komplex számok, éspedig tetszőleges a ''T''-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló ''G'' görbére: | ||
+ | :<math>c_n=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{G}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w,\quad\quad n\in\mathbf{Z}</math> | ||
+ | hogy a | ||
+ | :<math>\sum\limits_{(-\infty)}(c_n(id-a)^n)</math> | ||
+ | függvénysor konvergens ''T''-ben és minden ''z'' ∈ ''T'' számra: | ||
+ | :<math>f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-a)^n</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' ''f''-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az ''a'' pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként. | ||
+ | |||
+ | Rögzítsük egy tetszőlegesen választott ''z'' ∈ ''T''-t. Legyenek ''k''<sub>1</sub> és ''k''<sub>2</sub> két ''a'' középpontú, ''T''-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy ''z'' a ''k''<sub>1</sub> és ''k''<sub>2</sub> körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy ''k''<sub>1</sub> kezdő és végpontja az ''s'' kezdőpontja, ''k''<sub>2</sub> kezdő és végpontja pedig az ''s'' végpontja. Legyen | ||
+ | :<math>\Gamma=k_1^\frown s^\frown (-k_2)^\frown(-s)</math> | ||
+ | itt (-s) az ''s''-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a ''z''-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{\Gamma}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math> | ||
+ | Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-''k''<sub>2</sub>)-n vett integrál ellenkezője a 'k''<sub>2</sub>-vettének, így végülis: | ||
+ | :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_1}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w</math> | ||
+ | Hangsúlyozzuk, hogy ''z'' és ''a'' most konstansok, így a | ||
+ | :<math>w\mapsto\frac{1}{w-z}\,</math> | ||
+ | az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az ''a'' középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a ''z'' szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor: | ||
+ | :<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{a-z}\cdot\frac{1}{\frac{w-a}{a-z}+1}=-\frac{1}{z-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{w-a}{z-a}}</math> | ||
+ | Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis <math>q=\frac{w-a}{z-a}</math>-ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját: | ||
+ | :<math>\frac{1}{w-z}=-\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n</math> | ||
+ | 1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a ''k''<sub>2</sub>-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát: | ||
+ | :<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{z-a}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^n}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=</math> | ||
+ | az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért | ||
+ | :<math>=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\oint\limits_{k_2}f(w)\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(z-a)^{n+1}}\oint\limits_{k_2}f(w)\cdot(w-a)^n\mathrm{d}w</math> | ||
+ | Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen: | ||
+ | :<math>-\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-z)}\mathrm{d}w=\frac{1}{2\pi i}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}\left(\oint\limits_{k_2}\frac{f(w)}{(w-a)^{n+1}}\mathrm{d}w\right)(z-a)^{n}</math> | ||
+ | |||
+ | Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a ''k''<sub>2</sub> helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az ''a''-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható ''k''<sub>2</sub>-be. Ez a ''T'' körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll. | ||
+ | |||
+ | 2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az ''a'' körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja: | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-a)+(a-z)}=\frac{1}{w-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{w-a}}</math> | ||
+ | Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED | ||
==Cauchy-féle integrálformulák== | ==Cauchy-féle integrálformulák== |
A lap 2008. december 12., 18:26-kori változata
Tartalomjegyzék |
Lineáris differenciálegyenletek
Geometriai tenzorok
Stokes-tétel
Abel-tétel
Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
Definíció – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor a
- ∑(an(idC-z0)n)
függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a
- {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál }
halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.
Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:
Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az
sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:
Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.
Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ Cω(z0) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z0).
Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:
mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:
vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:
a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:
ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑n|an|nrn)=:δ
Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:
Laurent-sorba fejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED