Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások
Tartalomjegyzék |
Lineáris differenciálegyenletek
Geometriai tenzorok
A V = R2-ben, vagy R3-ban olyan matematikai objektumokat hozunk létre, melyek V minden bázisában felírva egy-egy mátrixszal jellemezhetők, de invariánsak a koordinátarendszer megváltoztatására nézve, azaz mátrixaik egymással vett szorzata (vagy összege, vagy vektorral, számmal vett szorzata) egyenlő a szorzat mátrixával. Rn-ben ilyet könnyen találunk: ezek az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorok:
Definíció. Az L(Rn,Rn)-beli lineáris operátorokat tenzoroknak, vagy másodrendű tenzoroknak nevezzük.
Minthogy a tenzorok maguk is invariásak, találhatunk velük kapcsolatos további vektor, tenzor vagy skalárinvariánsokat.
Először is megfogalmazzuk, hogy mitől invariáns egy mennyiség. Legyen B és C az n dimenziós V egy-egy bázisa. Legyen T a B-t a C-re váltó koordinátaváltás transzformációja, azaz a
(tehát ez invertálható tenzor). Tudjuk hogy, ha A tetszőleges tenzor, akkor ő egy lineáris leképezés, és emiatt
Ez a tenzorok invariáns tulajdonsága.
Az f(M) ∈ R (M ∈ Mn×n) skalárfüggvényt akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:
Másként, minden B bázisra, T a B megváltoztató koordinátaváltó transzformációra és A tenzorra
ahol [.] a B-beli koordinátamátrixot jelenti.
Az m(M) ∈ Mn×n (M ∈ Mn×n) mátrixfüggvényt pedig akkor nevezzük invariánsnak, ha minden B és C bázisra és A tenzorra:
azaz ha m az A mátrixával együttügy transzformálódik.
Determináns
Vegyük az M det(M) mátrixleképezést. A determinánsok szorzástétele szerint tetszőleges M és N mátrixra:
Emiatt ha A az A tenzor egy mátrixa és T a koordinátaváltó-mátrix, akkor:
Hiszen T-1T = I az egységmátrix.
Értelmes tehát az A tenzor determinánsának értelmezése úgy, hogy det(A) az A tetszőleges mátrixának determinánsa.
Nyom, trace, spur
Vegyük a következő mátrix leképezést:
azaz a mátrixok főátlóbeli elemeinek összegét. Ez is invariáns, melyet a következőkkel bizonyíthatunk. Először is belátjuk a spur szimmetrikus tulajdonságát. Tetszőleges A, B mátrixra Sp(AB) = Sp(BA). Tudjuk, hogy két mátrix szorzata a következőképpen definiált:
ezért:
Az invariancia pedig:
Ez a mennyiség tehát az A tenzor egy skalárinvariánsa.
Szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorok
Vegyük az A lineáris leképezést és ennek az S sztenderd bázisbeli mátrixát A-t. Ekkor világos, hogy az AT transzponált mátrixszal történő AT[v]S szorzás egy lineáris leképezés, tehát tenzor, tenzortranszponálás definíciója tehát az, hogy minden A tenzorhoz hozzárendeljük a következő lineáris leképezést:
ahol a mátrixszorzás.
Ám, ez nem minden bázisban viselkedik úgy, ahogy azt a transzponálástól elvárjuk, azaz ha B egy tetszőleges bázis, akkor az [A]BT már nem feltétlejül a T-1 ATT mátrix, ahogy azt várnánk. Ellenben ortonormált bázisokra és a köztük váltó ortogonális transzformációkra már igen. Ezután a tárgyalást csak ortonormált (azaz páronként merőleges, egységhosszúságú bázisvektorú) bázisokra és az ezek között váltó OT = O-1 egyenlőségnek eleget tévő távolságtartó vagy másként ortogonális transzformációkra szorítkozunk.
Igaz az alábbi invariancia-tulajdonság. Ha B tetszőleges ortonormált bázis, [A]B=A és OT = O-1, akkor
Tehát a sztenderd bázisban definiált transzponálás minden ortonormált bázisban transzponálás lesz, így ha csak ezekre korlátozódunk, akkor a AT fenti definíciója invariáns leképezést alkot.
Lényeges tehát, hogy transzponálást, szimmetria és antiszimmetria vizsgálatokat a tenzorok tekintetében most úgy végezünk, hogy tudatában vagyunk annak, hogy eközben a hagyományos, geometriai |a||b|cos γ definíciójú skaláris szorzást használjuk (illetve ennek komponensenkénti változatát). Ezért nevezzük ezeket néha geometriai tenzoroknak.
Az S tenzor szimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa szimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy S pontosan akkor szimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Sv)=v(Su),
ahol a skaláris szorzás.
Az A tenzor antiszimmetrikus, ha minden ortonormált bázisban a mátrixa antiszimmetrikus mátrix. Igaz az, hogy A pontosan akkor antiszimmetrikus, ha minden u, v vektorra
- u(Av)=-v(Au),
ahol a skaláris szorzás.
Bármely T tenzor egyértélműen előáll S + A alakban, ahol S szimmetrikus, A pedig antiszimmetrikus, éspedig:
Két fontos tétel:
Tétel -- Ha A ∈R3 (illetve R2 ) antiszimmetrikus, akkor létezik olyan a vektor (vagy a skalár), hogy minden v vektorra:
a-t (ill. a-t) az A vektorinvariánsának nevezzük (bár a síkon ez skalár). A tételt elég a sztenderd bázisban igazolni, ott az a×( . ) opertátorral, azonos így A ez az operátor.
Főtengelyétel -- Ha S ∈Rn szimmetrikus, akkor minden sajátértéke valós és létezik a sajátvektorokból álló B ortonormált bázis, amiben S főtengelyre transzformálható, azaz diagonális és az elemei az S sajátértékei:
Ez nehéz, de fontos tétel.
A deriválttenzor invariánsai
Tudjuk, hogy ha v differenciálható vektorfüggvény, akkor az r0 pontbeli differenciálján, vagy deriváltján, vagy deriválttenzorán azt az egyértelműen létező A lineáris leképezést értjük, melyre:
Minthogy az A deriválttenzor maga is tenzor, ezért érdemes külön elnevezni az invariánsait (h tetszőleges vektora a térnek): azaz A vektorinvariánsának duplája a rotáció. A divergencia a skalárinvariáns:
Világos, hogy ebből úgy lesznek a parciális deriváltakkal definiált alakok, ha a A sztenderd bázisbeli mátrixát, azaz a J Jacobi mátrixot írjuk fel. Ekkor mindkét említett vektoroperátort a szokásos alakjában kapjuk:
Megjegyzés. A főtengelytételből következik, hogy hogyan jellemezhető az az eset, amikor az A deriváltenzor főtengelyre transzformálható. Ez pontosan akkor van, amikor rot(v)=0.
Stokes-tétel
Analitikus függvény reguláris
Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok
Definíció – Legyen (an) komplex számsorozat és z0 ∈ C. Ekkor a
- ∑(an(idC-z0)n)
függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az
hozzárendelési utasítással értelmezett, a
- {z ∈ | ∑(an(z-z0)n) konvergál }
halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z0, együtthatósorozata (an).
A továbbiakban csak a ∑(anzn) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).
Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (an) komplex számsorozat, és
akkor ∑(anzn) abszolút konvergens a BR(0) gömbön és divergens a B1/R(∞) gömbön.
Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.
Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy
akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:
ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.
Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:
Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az
sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:
A tétel
Reguláris egy függvény, ha egy nyílt halmazon komplex differenciálható. A hatványsorok ilyenek.
Tétel – Ha (an) komplex számsorozat, akkor az ∑(anzn) hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható a konvergenciakör belsejében.
Másként fogalmazva:
Analitikus függvény reguláris. Hiszen, ha f analitikus, akkor lokálisan hatványsor.
Bizonyítás. Ha R a konvergenciasugár, akkor legyen
és Δz olyan, hogy
A következő függvény z-beli komplex differenciálhatóságát kell belátni:
Nem árulunk zsákbamacskát, formális tagonkénti deriválással megkapható az a sor, mely ennek a függvénynek a majdani deriváltja lesz:
Világos, hogy ez utóbbi sor is konvergens a konvergenciakör belsejében. Erről a Cauchy--Hadamard-tétellel győződhetünk meg, ha |z|< r < R, akkor a konvergenciasugara:
Képezzük a különbségi hányadost és vonjuk le belőle ezt a kifejezést!
ekkor a kéttagú összeg négyzetére vonatkozó
algebrai azonossággal alakÍtjuk át a hatványt, majd amivel lehet leosztunl és amit lehet kiemelünk:
Azt kell ellenőrizni, hogy az abszolútértékbeli sor konvergens. Ezt a gyökkritériummal látjuk be. Legyen r olyan pozitív szám, hogy | z|, |Δz | < r < R. Ilyet találunk, mert a BR(0) nyílt. Ekkor
ahol (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És
De akkor a különbségi hányados minusz a majdani derivált abszolút eltérése felülbecsülhető egy nullához tartó szor korlátos függvénnyel, azaz P deriválató z-ben és a deriváltja a formális tagonkénti deriválással kapott sor.
De! Ez is egy hatványsor, ami ugyanilyen módon és ugyanazon a halmazon deriválható, azaz végül azt kaptuk, hogy a hatványsor nemcsak egyszer, de végtelenszer is differenciálható. Azt, hogy a Taylor-sora saját maga, a Taylor-sor létezési és egyértelműségi tételéből fog következni és mivel P előállítja saját magát, ezért persze analitikus (bár a hatványsor-előállíthatóság ezesetben a nyilvánvalónál is triviálisabb).
Komplex körintegrálok
Ebben a tételben a komplex körintegrálok kiszámitásával foglalkozunk.
Az f folytonos komplex függvény komplex integrálját egy szakaszonként folytonosan differenciálható G: [a,b] C görbe mengtén értelmezhetjük közvetlenül a C síkon a
Riemann-közelítőösszeg határátmenetével vagy a síkbeli vonalintegrálra visszavezetve. Ez utóbbi esetben válik kifehezetten szembetűnővé, hogy a fenti képletben a szorzás a komplex szorzás. Ha ugyanis f= u + iv, akkor az f=(u,v) vektormezőnek olyan differenciálforma szerinti integrálja a komplex pályamenti integrál, mely az f=(u,v) vektor és a dz=(dx,dy) infinitezimális elmozdulásvektor komplex szorzásaként jön létre:
Ebben a felírásban az (u,-v) és (v,u) olyan segédvektormezők, melyek vonalintegráljai adják meg a komplex integrál valós és képzetes részét. Tehát az integrált a
- és
segédvektormezők síkbeli vonalintegráljai, vagy a
- és
segédvektormezők síkbeli felületi integráljai szolgáltatják.
Itt érdemes feleleveníteni, hogy az S = (s1, s2) síkvektormező felületi integrálja nem más, mint a (s1, s2) vektormező vonalintegrálja.
megfelelő módon irányítva az F felületet, ill ennek "F" görbe mivoltát.
(Azaz a s_2dx - s_1 dy differenciálforma integrálja. Differenciálforma -- nemes egyszerűséggel -- egy olyan kifejezése, ahol dx, dy, dz-k és egy vektormező komponensei vannak összeszorozva-összeadva.)
Primitívfüggvény
A G: [a,b] C görbe zárt görbe, ha G(a)=G(b). A zárt görbére vett integrál a körintegrál.
Az első eszköz a Newton--Leibniz-formulából következik, hisz ha F'=f, akkor ∫zw f = F(w) - F(z).
Tétel. Ha a D tartományon értelmezett f függvénynek van primitív függvénye, akkor a körintegrál minden a D-ben haladó zárt görbén eltűnik:
Példa. Az -nek van primitívfüggvény, így körintegrálja mindenütt eltűnik.
Példa. Paraméteresen kiszámolható, hogy
akrámilyen r > 0 sugárra. Tehát a teljes C \ {0}-n a reciproknak nincs primitívfüggvénye. (De egyszeresen összefüggő, a 0-t nem tartalmazó tartományon már van: a logaritmus.)
A komplex analízis főtétele
A komplex N--L-tétel nem túl hatékony eszköz. A N--L-tétel síkvektoranalízisbeli általánosításához kell folyamodnunk, például a Gauss-tételhez, ha többet akarunk mondani:
Gauss-tétel (R2-re) Legyen D egyszeresen összefüggő, síktartomány és legyen G : r=r(t) ennek határát paraméterező zárt görbe. Ha v folytonosan R-differenciálható a D lezártján, akkor
A tételben rendkívül lényeges az egyszeres összefüggőség kitétel (ahogy a folytonos differenciálhatóság is). Gondoljunk csak a térbeli v(r) = r/|r|3 vektormezőre. Ennek körintegrálja az origóközéppontú gömbön 4π, miközben a divergenciája mindenhol 0.
Így tehát a komplex vonalintegrál kiszámításához csak a P ' és Q ' felületi integrálját kell kiszámítanunk, amihez a Gauss-tétel miatt a divergenciákat ki kell kiszámítanunk:
Ami, a C-R-egyenletek miatt igaz.
Innen
Goursat ennél is mélyebb eredményt talált:
Goursat-lemma. A T háromszöglapon reguláris f komplex függvény integrálja a háromszög határán nulla:
Innen már könnyen adódik a komplex analízis főtétele, melyet először Cauchy modott ki ugyan csak folytonosan diffható komplex függvényre, de Goursat ezt megfejelte a gyengített feltételével:
Cauchy-tétel vagy Főtétel. Ha a D tartományon egyszeresen összefüggő tartományon reguláris az f komplex függvény, akkor a tartományban minden zárt G görbén a függvény integrálja nulla:
Cauchy-formula
A Cauchy-formula azért múlhatatlan fontosságú, mert ennek a kifejezetten komplex jellegű állításnak a következménye, hogy egy reguláris függvény nem csak egyszer, de végtelenszer differenciálható, sőt analitikus.
Tétel. Ha f az z_0 egy U környezetén reguláris, akkor tetszőleges az U-ban haladó, a z_0-t egyszer körülhurkoló pozitívan irányított G zárt görbére:
Bizonyítás. Vegyünk a z0 körül egy olyan K kört, mely a pozitívan irányított G belsejében halad és r > 0 sugarú. Definiáljuk azt a görbét melyet a következőkppen kapunk. Metszük át egy befelé menő s sugárral a G és K közötti tartományt. Tegyük fel, hogy G és K kezdőpontjai a sugár metszetei. tákoljuk össze a következő görbét:
Világos, hogy ekkor a Γ-ra vett körintegrál eltűnik, másrész szakaszonként intergálva a Γ-n:
mivel az s-en oda-vissza integrálva az integrálösszeg nulla és a Γ-ban a negatívan irányított K-t kell venni. Emiatt:
Vagy hivatkozva egy a gyakorlaton vett lemmára: egyetlen izolált szinguláris hely körüli görbén az integrál ugyanaz, mint az integrál a pont körüli kis körön.
Márcsak ennek az f(z0)-lal arányos voltát kell belátni:
ebből a tagok:
-
- minthogy a reciprok körintegrálja 2πi (egy egyszerű zárt görbén).
-
másrészt az f függvény z0-beli folytonossága miatt tetszőleges ε > 0 számhoz létezik olyan z0 körüli környezet, hogy ha K abban van, azaz a sugara, az r elég kicsi, akkor |f(z)-f(z0)| < ε; emiatt
Vagyis az utolsó tag nulla így a formulát megkaptuk.
Riemann-tétel
Tétel. Legyen U nyilt tartomány, z0 ∈ U. Ha f az U\{z0}-on reguláris és korlátos, akkor minden U-beli körintegrálja eltűnik.
Bizonyítás. Belátjuk, az f Laurent-sora csak reguláris részből áll a z0 körül. Az Laurent-sor együtthatóformuláiból, k < 0 egészre és Kr r sugarú körre:
hiszen f korlátjához létezik olyan kis környzet, ahol a nullához tartó második tényező K-nál kisebb (vagy 1, és akkor a képletben és a végeredméybencsak K szerepel). Ha pedig r-rel tartunk a 0-hoz, az együttható eltűnik.
f-tehát kiterjeszthető U-n reguláris függvénnyé, így a Cauchy-tétel miatt minden körintegrálja eltűnik. Vagy egyszerűbben: f reziduuma a megszüntethető szingularitási helyen 0.
Reguláris függvény analitikus, Laurent-sorfejtés
Tétel. -- A Laurent-sor tétele -- Ha az f: C C és a ∈ C szám és 0 ≤ r < R ≤ +∞ olyan sugarak, hogy f az
nyílt körgyűrűben reguláris, akkor egyértelműen léteznek olyan (cn)n∈Z komplex számok, éspedig tetszőleges a T-ben haladó az a-t egyszer pozitív irányban körbehurkoló G görbére:
hogy a
függvénysor konvergens T-ben és minden z ∈ T számra:
Bizonyítás. f-et most nem tudjuk előállítani a Cauchy-integrálformulával, mint a Taylor-sor esetén, mert az a pontban esetleg a függvény nem reguláris. De előállíthatjuk két hasonló formula különbségeként.
Rögzítsük egy tetszőlegesen választott z ∈ T-t. Legyenek k1 és k2 két a középpontú, T-ben haladó, pozitívan irányított kör, úgy, hogy z a k1 és k2 körök közötti nyílt tartományba essen. Ezekből a körökből és az őket elválasztó gyűrűt sugárirányban befelé átmetsző s szakaszból elkészítünk egy olyan zárt görbét, melyre már alkalmazható az integrálformula. Tekintsük úgy, hogy k1 kezdő és végpontja az s kezdőpontja, k2 kezdő és végpontja pedig az s végpontja. Legyen
itt (-s) az s-sel ellenkező irányítású szakaszt jelzi. Ekkor Γ a z-t egy reguláris tartományban hurkolja egyszer, pozitívan körbe, így a Cauchy-integrálformulával:
Node, ebben az integálban az s íven kétszer oda-vissza végezzük el az integrálást, így az erre vett integrál eltűnik. Másrészt a (-k2)-n vett integrál ellenkezője a 'k2-vettének, így végülis:
Hangsúlyozzuk, hogy z és a most konstansok, így a
az értelmezési tartományán analitikus függvény. Ennek -- szikásos módon a mértani sor összegére vonatkozó képlet segítségével -- elvégezhetjük az a középpontú, valamilyen körön belüli hatványsorba fejtését. Természetesen a |w-a| < |z-a| feltételt meg kell követelnünk, hiszen hatványsor konvergenciakörében nem lehet benne a z szakadási pont. Tegyük fel tehát, hogy |w-a| < |z-a|. Ekkor:
Ezzel megvan a sorfejtés minden együtthatója, ugyanis -ra kell alkalmazni a mértani sor formuláját:
1) Világos, hogy ezt a sorfejtést csak a k2-re vonatkozó integrálban használhatjuk fel, mert ott lesz a q < 1 (ill. a w mindig közelebb a-hoz mint z-hez). Ezt az integrált tehát:
az integrál felcserélhető a szummával és a w-től független tagok kihozhatók az integrál elé, ezért
Ekkor egy konvergens, negatív kitevőjű hatványsort kaptunk, melynek csak főrésze van, de érdekes módon nem a középponttal és w-re, hanem a középponttal és z-ra. Ez pont a kívánt sorfejtés, melyet érdemes átindexelni úgy, hogy a szummázás -1-től induljon és -∞-ig menjen:
Már csak azt kell megmagyaráznunk, hogy a k2 helyére most már minden olyan G görbére felírható, mely az a-t pozitívan öleli körbe egyszer és a regularitási tartományban halad. Valóban, a képletbeli integrál már független az 1/(w-z) sorfejtési szituációjától és minden olyan G görbére áttranszformálható melyek folytonosan áttranszformálható k2-be. Ez a T körgyűrű összes a tételi állításban megadott görbéjére áll.
2) Most már az előző számolásból sejthető, hogy a Laurent-sor reguláris része akkor jön ki, ha az 1/(w-z) reciprokfüggvényt a az a körül nem pozitív, hanem negatív kitevőjű hatványsorba, fejtjük -- mint az első példában. Ezt a |w-a| > |z-a| feltétellel tehetjük csak meg, hisz ilyen sor konvergenciatartománya körgyűrű és a z szinguláris pontot nem tartalmazhatja:
Ez a sor valóban akkor konvergens, ha |w-a| > |z-a|. Ezzel az előző pomt számolását elvégezve az f(z)-t előállító Laurent-sor reguláris részét kapjuk. QED
Következmény. Reguláris függvény analitikus.
Következmény. Az izolált szingularitások a sorfejtés szerint osztályozhatóak éspedig. Az f függvény z0 izolált szinguláris pontja körüli sorfejtésben
- pontosan akkor van csak reguláris tag, ha a szingularitás megszüntethető,
- pontosan akkor van véges sok főrészbeli tag, ha végtelen a határérék z0-ban,
- pontosan akkor van végtelen sok főrészbeli tag (lényeges szingularitás), ha nem létezik a határérék z0-ban.