Szerkesztő:Mozo/ A3 bizonyítások

Abel-tétel

Komplex nemnegatív kitevőjű hatványsorok

Definíció – Legyen (a_n) komplex számsorozat és z₀ ∈ C. Ekkor a

∑(a_n(id_C-z₀)ⁿ)

függvénysort hatványsornak nevezzük és összegét, az

$z\mapsto \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

hozzárendelési utasítással értelmezett, a

{z ∈ | ∑(a_n(z-z₀)ⁿ) konvergál }

halmazon értelmezett függvényt a hatványsor összegének nevezzük. Középpontja z₀, együtthatósorozata (a_n).

A továbbiakban csak a ∑(a_nzⁿ) alakú, azaz a 0 körüli hatványsorokkal foglalkozunk (ezzel nem csorbítjuk az általánosságot, mert eltolással megkaphatjuk a többit is).

Tétel – Cauchy–Hadamard-tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, $c= \limsup\limits_{n}\sqrt[n]{|a_n|}$ és

$R=\left\{ \begin{matrix} 0,& \mathrm{ha} &c=+\infty\\ +\infty,& \mathrm{ha} & c=0\\ \frac{1}{c},& \mathrm{ha} & 0<c<+\infty \end{matrix} \right.$

akkor ∑(a_nzⁿ) abszolút konvergens a B_R(0) gömbön és divergens a B_1/R(∞) gömbön.

Bizonyítás. Nyilvánvaló, hogy a Cauchy-féle gyökkritériumot kell használni a valós értékű abszolútérték-sorozatokra. Komplex sor konvergens, ha abszolút konvergens, mert igaz, hogy minden Cauchy-sorzat konvergál C-ben.

Megjegyzés. A tételbeli R sugarat a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. R-et másként is kiszámíthajuk. Ha azt tudjuk, a hányadoskritérium alapján, hogy

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}$

akkor létezik és ezzel egyenlő az n-edik gyökök sorozata is:

$\exists\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\,''\,\frac{1}{R}\,''$

ahol az idézőjel azt jelzi, hogy a konvergenciasugár lehet végtelen vagy 0 is.

Példa. Az alábbi mértani sor konvergens, ha |z|<1 és összege a szokásos:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}$

Példa.Minden z ∈ C-re konvergens az

$\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n\,$

sor, mert konvergenciasugara ∞. Ezt legegyszerűbben a hányadoskritéruimmal és a fenti megjegyzéssel állapíthatjuk meg:

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{(n+1)!}\to 0$

Hatványsorok összegfüggvényének folytonossága és differenciálhatósága

Tétel – Ha (a_n) komplex számsorozat, akkor az ∑(a_nzⁿ) hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciakör belsejében. Sőt, reguláris is ott.

Emlékeztetünk arra, hogy egy függvény reguláris egy pontban, ha a pont egy környezetében mindenütt értelmezett és komplex deriválható. A tétel szerint tehát analitikus függvény reguláris. A döbbenetes azonban, hogymint később kiderül: reguláris függvény analitikus: f ∈ C^ω(z₀) akkor és csak akkr, ha f ∈ Reg(z₀).

Bizonyítás. Legyen z a konvergenciakör egy belső pontja és Δz olyan, hogy még z + Δz is a konvergenciakör belsejébe esik. Ekkor:

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n= \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n((z+\Delta z)^n-z^n)=$

mert mindkét sor konvergens, ekkor algebrai azonosságokkal:

$=\Delta z\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

vagy ha tetszik nemnulla Δz-vel:

$\frac{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n}{\Delta z}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}$

a jobb oldalon álló sor konvergenciáját a gyökkritériummal láthatjuk be:

$\left|a_n\sum\limits_{k=0}^{n-1}\Delta z^{k}z^{n-1-k}\right|\leq|a_n|\cdot n r^n$

ahol r olyan pozitív szám, hogy | z + Δz | < r < R (ez utóbbi a hatványsor konvergenciasugára). És

$\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|\cdot n r^n}=\limsup\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}\cdot 1 \cdot r\leq\frac{1}{R}r<1\,$

Így azt kaptuk, hogy minden olyan Δz-re, melyre | z + Δz | < r, teljesül és |Δz| <ε/(1+∑_n|a_n|nrⁿ)=:δ

$\left|\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z+\Delta z)^n-\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right|\leq|\Delta z|\cdot \sum\limits_{n=0}^\infty|a_n|nr^n<\varepsilon.$

Hosszadalmasabb számolásokkal, de lényegében ugyanígy kimutatható, hogy a hatványsor összegfüggvénye komplex differenciálható is a konvergenciakör belsejében és deriváltja a formális tagonkénti deriválásal kapott sor összegfüggvényével egyenlő, tehát:

$\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n\right)'=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n n z^{n-1}$