Szerkesztő:Mozo/egyéb

Tükrözés síkra

Példa. Tekintsük az S = {(x,y,z) ∈ R³ | x-y+z=0 } síkot. Adjuk meg az S síkra történő tükrözés mátrixát, a sajátvektorait és a sajátaltereket, illetve a sajátkoordinátarendszert!

A síkra tükrözés hozzárendelési utasítása:

$\mathbf{r}\mapsto \mathbf{r}-\frac{2(\mathbf{n}\mathbf{r})\mathbf{n}}{\mathbf{n}^2}$

ahol n a sík normálvektora, itt (1,-1,1). A bázisok képei:

$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot 1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot (-1)\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} - \frac{2}{3}\cdot 1\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}$

A mátrix:

$\frac{1}{3}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & 1 & 2\\ -2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

ez -1 determinánsú szimmetrikus mátrix, ortonormált vektorokból álló sajátrendszerrel,

Young-tétel

Tétel (Young) U = B_δ(a) ⊆ R², f: U $\to$ R,

f ∈ Diff(U),

grad(f) ∈ Diff(U), akkor

∂₂₁f = ∂₁₂f

Bizonyítás. (x,y)=(u+h,v+k), a=(u,v), A₁ = ∂₁f(a), A₂ = ∂₂f(a),

$f(u+h,v+k)=f(u,v) + A_1h + A_2k +\varepsilon_1(h,k)h+\varepsilon_2(h,k)k\,$