Vita:Gauss-elimináció
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→2.) |
||
(egy szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
25. sor: | 25. sor: | ||
A gnuplot kép nagyon szép lett! [[User:Mozo|Mozo]] 2008. február 8., 21:47 (CET) | A gnuplot kép nagyon szép lett! [[User:Mozo|Mozo]] 2008. február 8., 21:47 (CET) | ||
+ | |||
+ | ==Paraméteres egyenletrendszer== | ||
+ | ===1.=== | ||
+ | :<math>2x+4y=-2\,</math> | ||
+ | :<math>-y+z=1\,</math> | ||
+ | :<math>x+y+az=b\,</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>[\mathbf{A}|\mathbf{y}]\sim\begin{bmatrix} | ||
+ | 2 & 4 & 0 & -2\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
+ | 1 & 1 & a & b | ||
+ | \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 0 & -1\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & -1 & a & b+1 | ||
+ | \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 0 & -1\\ | ||
+ | 0 & -1 & 1 & 1\\ | ||
+ | 0 & 0 & a-1 & b | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, b=0 és a-1<math>\ne</math> 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát: | ||
+ | :0 megoldás, ha (a,b) ∈ {1} × '''R'''\{0}, mert ekkor 0x+0y+0z=b<math>\ne</math> 0 ellentomodó egyenlet | ||
+ | :1 megoldás, ha (a,b) ∈ '''R'''\{1} × '''R''', mert ekkor det A <math>\ne</math> 0 | ||
+ | :∞ megoldás, ha (a,b)=(1,0), mert ekkor det A = 0 és nem ellentmondó az alsó egyenlet: 0x+0y+0z=0[[User:Mozo|Mozo]] 2008. március 10., 10:22 (CET) | ||
+ | ===2.=== | ||
+ | :<math> x-y+z=0\,</math> | ||
+ | :<math>-3x+2y-z=b\,</math> | ||
+ | :<math>-2x+y+az=-1\,</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
+ | -3 & 2 & -1 & b\\ | ||
+ | -2 & 1 & a & -1 | ||
+ | \end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 & 2 & b\\ | ||
+ | 0 & -1 & a+2 & -1 | ||
+ | \end{bmatrix} \sim\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & -1 & 1 & 0\\ | ||
+ | 0 & -1 & 2 & b\\ | ||
+ | 0 & 0 & a & -1-b | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | Diszkusszió: | ||
+ | |||
+ | 1) Van megoldás pontosan akkor, ha <math>a\ne 0</math> és ''b'' bármilyen vagy ''a'' = 0 és ''b'' = -1 (ekkor az ehómátrix és a kibővített mátrix rangja egyenlő (3 ill. 2). | ||
+ | 2) Ha van megoldás, akkor ez előbb említett első esetben 1 db megoldás van, az utóbb említett esetben végtelen sok. [[User:Mozo|Mozo]] 2008. március 12., 14:57 (CET) | ||
+ | |||
+ | ==Paraméteres determináns== | ||
+ | Milyen c-re nulla az alábbi determináns értéke? | ||
+ | :<math>D=\begin{vmatrix} | ||
+ | 2 & 1 & c & c+1\\ | ||
+ | 1 & 1 & 1 & 1\\ | ||
+ | -1 & 1 & 1 & -1\\ | ||
+ | -2 & 1 & 4 & c^2 | ||
+ | \end{vmatrix}</math> a 2. oszlop csupa 1, és a többiben is van sok egyes, tehát érdemes levonni a 2. oszlopot a többiből: | ||
+ | :<math>D=\begin{vmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & c-1 & c\\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 & 0\\ | ||
+ | -2 & 1 & 0 & -2\\ | ||
+ | -3 & 1 & 3 & c^2-1 | ||
+ | \end{vmatrix}</math> a 2. sorban egy db 1-es lett, fejtsük ki eszerint: | ||
+ | :<math>D=\begin{vmatrix} | ||
+ | 1 & c-1 & c\\ | ||
+ | -2 & 0 & -2\\ | ||
+ | -3 & 3 & c^2-1 | ||
+ | \end{vmatrix}</math> ha levonjuk az 1. oszlopot a 3-ból, akkor eltűnik a -2: | ||
+ | :<math>D=\begin{vmatrix} | ||
+ | 1 & c-1 & c-1\\ | ||
+ | -2 & 0 & 0\\ | ||
+ | -3 & 3 & c^2+2 | ||
+ | \end{vmatrix}=(-1)\cdot(-2)\cdot\begin{vmatrix} | ||
+ | c-1 & c-1\\ | ||
+ | 3 & c^2+2 | ||
+ | \end{vmatrix}=2(c-1)(c^2+2)-6(c-1)=2(c-1)(c^2+2-3)=2(c-1)(c^2-1)=0 | ||
+ | \mbox{ ha }c=\pm 1</math> |
A lap jelenlegi, 2008. március 12., 15:57-kori változata
Ez így kezdetnek jó? Nyariz 2008. február 1., 23:51 (CET)
Nagyon jó! :) Mondjuk ezt a redukált lépcsős alak meg ilyenek, az lehet, hogy első olvasásra ijesztő. Akármilyen furcsának hangzik, a példánál kéne kezdeni és azt mondani, hogy minden olyan művelet elvégezhető, ami az egyenletrendszerek rendezésénél. Aztán utána össze lehet foglalni a fő lépéseket. (Sztem.) Mozo 2008. február 2., 07:15 (CET)
Megoldottam a példát ilyen táblázatos formában, szerintem ez így elég szemléletes. Ha az így jó akkor majd megírom a másikat is. Amúgy a leírás tényleg egy kicsit ijesztő, de ha valaki első olvasásra nem érti, úgyis megnézi a példát az alapján megérti, és utána a leírást is érteni fogja. De nincs akadálya annak, hogy előretegyük a példát, hacsak nem akarunk követni valamiféle "style guidelines"-t.:) Nyariz 2008. február 7., 12:08 (CET)
Szép lett, irigylésre méltó :), a táblázatszerekesztésed kapcsán csak nézek, mint tengerimalac az akváriumban :) !
Azért két dolgot kihangsúlyoznék:
- van egy kevésbé szigorú és algoritmikus módja a Gaussolásnak, amikor igyekszünk mindig egész számokat készíteni a táblázatban, az egyenlő együtthatók megoldási módszeréhez hasonlóan. ez ugyanolyan alkalmas a rang és függetlenségvizsgálatokra. A másik, amit Te is csinálsz, az a szigorú algoritmus, amikor kivonod a 2. sorból az első sor a_21/a_11 szeresét. Ez például az úgy nevezett LU felbontásra is alkalmas, ami fontos numerikus módszer (bár nekünk nem kell)(LU decomposition)
- továbbá élesen válasszuk szét a Gauss és a Gauss-Jordan módszert (ahogy Serény is megkülönbözteti), az utóbbiban a főátlót "leeggyezzük" és továbbcsináljuk a felső háromszög lenullázását.
Az egyenletrendszerek megoldásánál ezeken túl biztos szólni kéne a megoldásszám diszkussziójáról. Gondolj bele milyen elegáns lesz amikor a Serény megkérdezi ZH-ben, hogy "Van-e megoldása és ha igen hány darab az alábbi egyenletrendszernek?" Ekkor biztos nem kell majd végigcsinálni az algoritmust, csak a lépcsős alakig és abból következtetni a válaszra. Mozo 2008. február 7., 14:02 (CET)
- Akkor megoldást írjam át a nem szigorúra? A megoldások számánál meg elég a tilos sorokról meg a szabad paraméterekről beszélni? A gauss-jordanről mit írjak? Annyit, hogy van az is de az nem ez? Nyariz 2008. február 7., 17:06 (CET)
- Nyugi, majd kigondolom. Lehet, hogy egy külön szócikk kéne a lin. egyenletrendszerre? Nem tudom. A nem szigorú az, amikor megengedjük magunknak, hogy egy sort beszorozzunk 3-mal, a másikat meg 4-gyel. A szigorúnál osztani, szorozni nem lehet egy sort, mert akkor a determináns értéke megváltozhat -- persze nemnullából nem lesz nulla determinánsú, így rangon és a megoldhatóságon nem változtat -- csak emberszerűbb lesz. A lényeg, hogy amit írtál az tök jó és most ez a fontos! :) Mozo 2008. február 7., 19:25 (CET)
- Szerintem mindenképp kéne egy külön lineáris egyenletrendszer szócikk hasonlóan az angol wikipediához, és onnan lehetne link a Gauss-eliminációra Cramer-szabályra stb. Nyariz 2008. február 7., 21:00 (CET)
- Nyugi, majd kigondolom. Lehet, hogy egy külön szócikk kéne a lin. egyenletrendszerre? Nem tudom. A nem szigorú az, amikor megengedjük magunknak, hogy egy sort beszorozzunk 3-mal, a másikat meg 4-gyel. A szigorúnál osztani, szorozni nem lehet egy sort, mert akkor a determináns értéke megváltozhat -- persze nemnullából nem lesz nulla determinánsú, így rangon és a megoldhatóságon nem változtat -- csak emberszerűbb lesz. A lényeg, hogy amit írtál az tök jó és most ez a fontos! :) Mozo 2008. február 7., 19:25 (CET)
Még egy apróság: a mátrixot jelölésére melyik jelölést használjuk? mert én itt a bmatrix-ot, mint az angol wikipedian, a mátrix rangja szócikknél pmatrix van de mondjuk könyvekben gyakran látok vmatrix-ot.
szokásos jelölése a determinánsnak, ezért nem javasolt használni mátrixként.
A másik kett közül tökmindegy melyiket használod. Én meg aztán pláne nem vagyok következetes, így nálam teljesen keveredik a két jelölés. Az a lényeg, hogy a determinánstól jól elüssön.
A gnuplot kép nagyon szép lett! Mozo 2008. február 8., 21:47 (CET)
Tartalomjegyzék |
Paraméteres egyenletrendszer
1.
megoldható pontosan akkor, ha a-1=0 esetén, b=0 és a-1 0 esetén b bármilyen. Az első esetben végtelen sok megoldás, a másodikban 1, tehát:
- 0 megoldás, ha (a,b) ∈ {1} × R\{0}, mert ekkor 0x+0y+0z=b 0 ellentomodó egyenlet
- 1 megoldás, ha (a,b) ∈ R\{1} × R, mert ekkor det A 0
- ∞ megoldás, ha (a,b)=(1,0), mert ekkor det A = 0 és nem ellentmondó az alsó egyenlet: 0x+0y+0z=0Mozo 2008. március 10., 10:22 (CET)
2.
Diszkusszió:
1) Van megoldás pontosan akkor, ha és b bármilyen vagy a = 0 és b = -1 (ekkor az ehómátrix és a kibővített mátrix rangja egyenlő (3 ill. 2). 2) Ha van megoldás, akkor ez előbb említett első esetben 1 db megoldás van, az utóbb említett esetben végtelen sok. Mozo 2008. március 12., 14:57 (CET)
Paraméteres determináns
Milyen c-re nulla az alábbi determináns értéke?
- a 2. oszlop csupa 1, és a többiben is van sok egyes, tehát érdemes levonni a 2. oszlopot a többiből:
- a 2. sorban egy db 1-es lett, fejtsük ki eszerint:
- ha levonjuk az 1. oszlopot a 3-ból, akkor eltűnik a -2: