Haladó szintre hozó kurzus/1

Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.

Kijelentéslogika

1. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy a következő kijelentések mindig igazak:

a) $p\Rightarrow(p\vee q),$ $q\Rightarrow(p\vee q)$ (a "vagy" alaptulajdonsága)

b) $(p\wedge (\neg p))\Rightarrow q$ (a "hamisból" minden következik)

c) $q\Rightarrow (p\vee (\neg p))$ (az "igaz" mindenből következik)

d) $[(p\Rightarrow r) \wedge (q\Rightarrow r)\wedge (p\vee q)]\Rightarrow r$ (az esetszétválasztás szabálya)

2. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy alább a ≡ két oldalán álló kifejezés mindig ugyanolyan igazságértékű!

a) $\neg(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad [(\neg q)\Rightarrow (\neg p)]\qquad$ (a kontrapozíció szabálya)

b) $(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee q$ (a "ha-akkor" jellemzése "vagy"-gyal és "nem"-mel)

c) $\neg (p\vee q)\quad \equiv\quad (\neg p)\wedge (\neg q),\qquad\neg(p\wedge q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee (\neg q)\qquad$ (De-Morgan-szabályok)

d) $(p\vee q)\wedge r\quad \equiv\quad (p \wedge r) \vee (q\wedge r),\qquad(p\wedge q)\vee r\quad \equiv\quad (p \vee r) \wedge (q\vee r)$ (disztributív szabályok)

Halmazok

3. Tudva hogy:

$A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}$

$A\cap B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}$

$A\subseteq B\Leftrightarrow_\mathrm{def}\mbox{ minden }x\mbox{-re } x\in A \Rightarrow x\in B$

$A= B\Leftrightarrow_\mathrm{def} A\subseteq B\;\wedge\;B\subseteq A$

igazoljuk, hogy

a) $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$

b) $A\cap(B\cup A)=A$

c) $A\cup(B\cap A)=A$

Halmazok Boole-algebrája

4. Felhasználva, hogy

$A\setminus B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\notin B\}$

$\overline{A}|_H=_\mathrm{def}\{x\in H\mid x\notin A\}$ illetve

$A\setminus B=A\cap \overline{B}$

igazolja, hogy minden A, B, C halmazra

a) $A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$

b) $A\setminus(A\setminus B)=B\setminus (B\setminus A)$

c) $(A\cap B)\setminus(A\setminus C)=A\cap B\cap C$

Egyéb

5. Legyen A, B és C tetszőleges halmaz, továbbá legyen

$K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C$ és

$L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)$

Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!

1. $K\subseteq L$
2. $K\supseteq L$

6. Mely X halmazokra teljesülnek az alábbi egyenletek, ha A és B tetszőleges halmazok?

a) $A\setminus X=X\setminus A\,$

b) $(A\setminus X)\cup B=X\,$

Haladó szintre hozó

2. téma