Haladó szintre hozó kurzus/3

A MathWikiből
Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.

Egész számok

1. Mely n egész számokra lesznek az alábbi törtek egészek?

a) \frac{5}{n+1}\,
b) \frac{7}{2n+3}\,
c) \frac{n+4}{n+6}\,

2.

Vegyes

3. Legyen ∅ az üres halmaz (a halmaz, aminek egyetlen eleme sincs) és legyen A és B tetszőleges halmazok. Igazak-e az alábbiak és ha igen, igazoljuk, ha nem cáfoljuk.

Használjuk fel, hogy

H\subseteq K definíciója: (\forall x)(x\in H \Rightarrow x\in K)

továbbá, hogy a H halmaz P(H) hatványhalmaza:

\mathcal{P}(H)=\{X\mid X\subseteq H\}
a) \emptyset\subseteq A
b) A\cap B=A, akkor és csak akkor, ha A\subseteq B
c) A\cap B=A, akkor és csak akkor, ha B\subseteq A
d) \mathcal{P}(A\cap B)=\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)
e) \mathcal{P}(A\cup B)=\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)

Természetes számok

4. Mely p prímszámra lesz p + 2 és p + 8 is prímszám?

5. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n természetes számra:

a) 5^n-2^n\, osztható 3-mal
b) 11^n-1\, osztható 10-zel

6. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n természetes számra:

a) 2^n>n\,
b) ha n>0, akkor 3^n>2^n+n\,


2. téma 4. téma
Személyes eszközök