Informatika1-2013/Gyakorlat7

Szimbolikus kifejezések

Ezen a gyakon szimbolikus kifejezésekkel foglalkozunk, így ne felejtsétek el a változókat, amik szimbolikusak, annak definiálni:

x = var('x')

1. Szimbolikus bevezetés

• Az is_prime() függvénnyel határozd meg, hogy a 2013 * 2014 - 1 prím-e!
• Egészítsd ki a kódot, hogy mûködjön!

a = <!>
<!> = a
b.factor()

• Határozd meg 2011 * 2012 + 1 gyökét az sqrt() függvénnyel!
• Egészítsd ki a kódot, hogy megoldja az egyenletet!

<!> = var('x')
<!>(2 * x ** 2 - 9 * x - 56 == 0, <!>)

• Az egyenlet megoldását add értékül egy változónak.
• Majd ennek a változónak (a megoldásnak) kérd le az elsõ elemét (mintha lista lenne, mivel az).
• Végül a megoldás jobb oldalát kérd le a right() metódussal.

• Oldd meg a sin(x) + log(x) - pi = 0 egyenletet a solve()-al, miután ez nem sikerült, oldd meg a find_root()-al (0 és 100 között van egy megoldás)!
• Legyen az f függvény a (2x + 5y)^3 ! (Ne felejtsd el felvenni y-t is mint szimbolikus változót.)
• Helyettesíts f-be a subs() függvénnyel, x = 316, y = 276-ot!
• Egészítsd ki a kódot, hogy összegre bontsa a kifejezést!

(a, b) = <!>
((2 * a - b) ** 3).<!>

2. Másodfokú egyenlet

• Oldd meg az általános 2. fokú egyenletet a solve() segítségével.
• Kérd le ennek az egyik (általános) megoldását.
• Majd helyettesítsd be az 5, 3, 2 értékeket az együtthatók helyére (a tagok fokával csökkenõ sorrendben).

3. Rajzolás bevezetés

• Egészítsd ki a kódot, hogy cosinus görbét rajzoljon ki 0-tól 4*pi-ig.

plot(<!>, (0, <!>))

• Rajzold ki az (x-2)^2 + 3 másodfokú polinomot -2-től 4-ig, zöld színnel!
• Rajzoljunk kört: cirlce((középpont koordinátái), sugár, egyebek). Az "egyebek" lehetnek: szín, aspect_ratio=True hogy az x és y tengelyek skálázása azonos legyen (különben ellipszist kaphatunk!).
• Rajzold a másodfokú polinomot és a kört egymás mellé a show függvénnyel.

• Rajzoljátok ki a (cos(x))^(0.5) + (log(x))^2 - pi függvényt a (0, 20) intervallumon, majd vegyétek észre, hogy mennyire fura.
• Rajzoljátok ki a (cos(x))^(-0.5) + (log(x))^2 - pi függvényt a (0, 20) intervallumon, majd vegyétek észre, mennyire gyönyörû.
• Nincsnek határok, találjatok szebb függvényt!

• Azért közbe vegyétek észre, hogy a cos(x)^(0.5) miatt a függvény valósak felett nem mindenhol értelmezett, ezért lettek ilyen szépek a függvények.
• Javítsátok ki õket, hogy mindenhol értelmezettek legyenek és mégse legyenek annyir megváltoztatva. Majd vegyétek észre így mennyire unalmasak lettek.

4. Több megoldás

• A korábbi sin(x) + log(x) - pi = 0 egyenletnek keresd meg 3 gyökét a [0, 20] intervallumon. Esetleg ha segít rajzold ki elõtte plot-al.
• Írj (sage) függvényt ami 3 bemenetet kap: egy egyenlet (f), intervallum (I) és gyökök száma (n). A függvény keresse meg az f legalább n megoldását az I intervallumon. Egy kis segítség:
  • A korábbi gyakorlaton négyzetgyököt számoltunk intervallum felezéssel. Itt is lehet intervallum felezést alkalmazni.
  • Nem kell foglalkozni azzal, hogy egy megoldás pont az intervallum szélére esik, hisz a find_root() numerikus hibával adja meg a megoldást, így ez elég valószínûtlen.
  • A megoldásokat rakja egy listába, majd ezt adja vissza.

• Próbáljátok ki a sin(x) + log(x) - pi = 0 egyenlet, [0, 20] intervallum és 3 bemenetekkel.
• Majd próbáljátok még ki a (x - 1) * (x + 2) * (x - 6) függvényen, hogy biztosan jól mûködik-e.