Informatika1-2015/Gyakorlat11megoldasok
Tartalomjegyzék |
Mátrixok
Blokkmátrix
Számoljuk ki a determinánsát a következõ blokkmátrixnak:
X I O X
ahol I a 3x3-as egységmátrix és O a 3x3-as csupa 0 mátrix, X pedig a következõ:
0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0
Megoldás
O = 0 * ones_matrix(3, 3) I = diagonal_matrix([1, 1, 1]) X = -1 * ones_matrix(3, 3) + I block_matrix([[X, I], [O, X]]).det()
Egyenlet megoldás
Oldjuk meg az Ax = b alakú egyenletrendszert, ahol A és b rendre:
1 -1 0 | 1 3 1 -1 | 1 -2 0 1 | 2
Használjuk az elõadáson tanult solve_right metódust!
Ha megkaptuk az eredményt, akkor állítsuk át a mátrixot, hogy GF(3) felett legyen értelmezve (a change_ring metódussal) és nézzük meg így is a megoldást.
Megoldás
A = matrix([[1, -1, 0], [3, 1, -1], [-2, 0, 1]]) b = vector([1, 1, 2]) A.solve_right(b)
A = matrix([[1, -1, 0], [3, 1, -1], [-2, 0, 1]]) b = vector([1, 1, 2]) G = A.change_ring(GF(3)) G.solve_right(b)
Összefüggõ
Határozzuk meg, hogy az alábbi mátrix sorai (vagy oszlopai) milyen x értékekre lesznek összefüggõk. (Használjuk a solve parancsot a fentiekkel együtt.)
x 0 1 0 2 x 1 x -1
Megoldás
m = matrix([[x, 0, 1], [0, 2, x], [1, x, -1]]) solve(m.det() == 0, x)
Listaértelmezések
Mit csinál?
Futtassuk le az alábbi példákat és értelmezzük õket mi is történik bennük és hogyan érjük ezt el.
[n for n in range(1, 10)]
Egész számok 1-tõl 9-ig.
[(n, m) for n in range(1, 10) for m in range(1, 5)]
Összes lehetséges számpár, ahol az elsõ szám 1-tõl 9-ig terjed, a második 1-tõl 4-ig.
[n for n in range(1, 10) if is_prime(n)]
Prímek 1 és 9 között.
[n for n in range(1, 100) if n % 5 == 0 and n % 7 == 1]
1 és 99 között az 5-el osztható és 7-el 1 maradékot adó számok.
[(n, m) for n in range(1, 5) for m in range(n, 5)]
Számpárok ahol az elsõ szám 1-tõl 4-ig terjed, a második pedig az elsõ számtól 4-ig. (Így a második mindig legalább akkora lesz, mint az elsõ.)
[(m, n) for n in range(1, 10) for m in range(n, 10) if m % n == 0]
Számpárok 1-tõl 9-ig, melyekben az elsõ elem a második osztója.
sorted([(m, n) for n in range(1, 10) for m in range(n, 10) if m % n == 0])
Az elõzõ, csak lexikografikusan rendezve.
sum([n for n in range(1, 10) if is_prime(n)])
1-tõl 9-ig a prímek összege.
Az utolsóhoz egy kis spoiler, ha nem menne: spoiler
[n for n in range(1, 100) if n == sum([m for m in range(1, n) if n % m == 0])]
Összetett számok...duh.
Oldjuk meg
- Keressük meg az összes olyan 1000 alatti négyzetszámot, melynél eggyel nagyobb szám prím. Pl a 4 ilyen.
[n^2 for n in range(1,sqrt(1000)) if is_prime(n^2 + 1)]
- Keressük meg az összes olyan 100 alatti számpárt, melyekre igaz, hogy mindkettõ prím és az egészosztással vett eredményük is prím. Pl (11, 2) ilyen.
[(n, m) for n in range(1, 100) for m in range(1, 100) if is_prime(n) and is_prime(m) and is_prime(m//n)]
- Keressük meg az összes egy jegyû számhármast, mely egymás után írva megegyezik a köbeik összegével. Ilyen például az 1, 5, 3, mert 1^3 + 5^3 + 3^3 == 153
[(n, m, k) for n in range(1, 10) for m in range(1, 10) for k in range(1, 10) if 100*n + 10*m + k == n^3 + m^3 + k^3]
- Keressük meg az összes olyan 1000 alatti számot, melynek négyzete megegyezik az nálánál kisebb osztói köbeinek az összegével. (Egy kis csavar a tökéletes számokon)
[n for n in range(1, 1000) if n^2 == sum([m^3 for m in range(1, n) if n % m == 0])]
- Keressük meg az összes olyan 10000 alatti számot, mely kétféleképpen írható fel 2 darab szám köbének összegeként.
[((n, m, n^3 + m^3), (k, l, k^3 + l^3)) for n in range(1, 10000^(1/3)) for m in range(n + 1, 10000^(1/3)) for k in range(1, 10000^(1/3)) for l in range(k + 1, 10000^(1/3)) if n < k and n^3 + m^3 == k^3 + l^3]