Komplex számok elemi analitikus tulajdonságai
A komplex számok teste, mint kétdimenziós valós test feletti vektortér első megközelítésben vizsgálható a valós analízis eszközeivel. A komplex szorzás művelete miatt azonban olyan jellegzetességek és sajátosságok tapasztalhatók ebben a vektortérben, melyek nagy mértékben indokolják a kimondottan komplex analitikus fogalmak létét.
Tartalomjegyzék |
Topologikus fogalmak
A C testen, mint az R2 vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a
szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az R2
normája által generált topológiája. Speciálisan p = 2 -re az euklideszi topológiát, a
norma topológiáját kapjuk. (Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik normát vesszük R2-ben, mert mindegyik ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg).
Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni C-n az indokolja, hogy C mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.
Összeadás
Rögzített a + bi komplex számra az
leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az a + x és b + y függvények triviális hatványsorok.
Az, hogy ez a függvény folytonos amellett, hogy lineáris, geometriai indokokkal is megokolható, hiszen a C C eltolás egy z pontot egy z + z0 pontba viszi, és a z körüli gömböt ugyanolyansugarú z + z0 körüli gömbbe képezi le. Világos, hogy ekkor a távolságtartás miatt folytonos lesz a függvény (ε=δ lesz a definícióval történő igazoláskor).
Természetsen a (z,w) z + w leképezés is folytonos lesz, az R2 × R2 szorzattér és a R2 tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)
Szorzás
Rögzített a + bi komplex számra az
szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen R-lineáris és Jacobi-mátrixa:
Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja C-t (persze a és b valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.
Továbbá szintén geometriai indokokkal, a szorzás forgatva nyújtás, így a gömböt egy elforgatott és megnyújtott gömbbé változtatja át, ami esetén az ε-hoz a δ a nyújtási raányból visszaszámolva nyerhető.
A szorzás C-lineráis is, hiszen maga a C-lineris C-skalárral szorzás.
Multiplikatív inverz
A nemnullvektorok halmazán értelmezett
leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).
R- és C-linearitás
Az f: C C
- a + b i c + d i
leképezés definíció szerint R-lineáris, ha mint R2-ből R2-be menő függvény, azaz
- (a,b) (c,d)
lineáris a valós számok teste felett. Az R-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:
ahol w1=(a11 + a22)/2 + i(a21-a12)/2 és w2=(a11 - a22)/2 + i(a21 + a12)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
Világos, hogy csak a w1z tag C-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:
Egy f(z) R-lineáris leképezés akkor és csak akkor C lineáris, ha az f R-lineárist reprezentáló A mátrix elemei között fennáll:
- és
Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint R2-ből R2-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.
Normált algebra
esetén az algebrát normált algebrának nevezzük (ekkor persze a szorzás folytonos a norma által generált topológiában).
C kétdimenziós normált algebra az R test felett a komplex szorzással és az euklideszi normával, mert
sőt, ||.||2-t abszolútérték függvénynek is nevezzük ilyenkor. Megjegyezzük, hogy C a maximumnormával ellátva is normált algebra.
Azonban C saját maga felett (azaz komplex módon) egydimenziós normált algebra, a normája a komplex abszolútérték.