Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Differenciálhatóság
A többváltozós differenciálhatóságot az egyváltozós alábbi átfogalmazásából általánosítjuk:
Definíció. Legyen f: Rn Rm és u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az u pontban, ha létezik olyan A: Rn Rm lineáris leképezés, hogy
Ekkor A egyértelmű és az f leképezés u-bent beli differenciáljának nevezzük és df(u)-val vagy Df(u)-val jelöljük. Ezt a fogalmat néha teljes differenciálnak, totális differenciálnak vagy Fréchet-deriváltnak is mondjuk.
Megjegyzés. A fenti határérték 0 volta egyenértékű a következő kijelentéssel. Létezik A: Rn Rm lineáris leképezés és ε: Dom(f) Rm függvény, melyre:
- ε folytonos u-ban és ε(u)=0, továbbá
minden x ∈ Dom(f)-re:
Megjegyzés. Azt, hogy A egyértelmű, a következőkkel bizonyíthatjuk. Legyen A és B is a mondott tulajdonságú, azaz létezzenek ε és η az u-ban eltűnő és ott folytonos Dom(f)-en értelmezett függvények, melyekre teljesül, hogy minden x ∈ Dom(f)-re
ezeket kivonva egymásból és használva minden x-re:
így minden x = u + ty értékre is az azonosan nullát kapjuk, ha t pozitív szám, y pedig rögzített nemnulla vektor, azaz minden t-re
az azonosan 0 függény határértéke t 0 esetén szintén nulla:
hiszen t-t kiemelhetünk és egyszerűsíthetünk és t 0 esetén ε és η nullává válik. Ez viszont pont azt jelenti, hogy a két lineéris operátor azonosan egyenlő.
Jacobi-mátrix
A df(u) lineáris leképezés (e1,e2,...,en) szetenderd bázisbeli mátrixa legyen: [df(u)] = A. Vizsgáljuk mibe viszi a bázisokat df(u) leképezés!
Írjuk fel a definíciót, de az e1 egységvektor mentén tartsunk u-hoz: x = u + te1. Ekkor
ami azért hasznos, mert a
alakból kiemelhetó t:
azaz
vagyis f koordinátafüggvényeinek az első változó szerinti parciális deriváltja az u pontban. A többi oszlopvektor ugyanígy:
amelyet Jacobi-mátrixnak nevezünk.
Következmény. Tehát. ha f totálisan differenciálható, akkor parciálisan is differenciálható és a differenciál sztenderd bázisbeli mátrixa a Jacobi-mátrix.
Azaz:
- teljes differenciálhatóság parciális differenciálhatóság
de ez fordítva már nem igaz:
- parciális differenciálhatóság teljes differenciálhatóság
Erre vonatkozik a két alábbi példa.
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |