Matematika A3a 2008/7. gyakorlat

_{<Matematika A3a 2008}

Folytonosság

Azt mondjuk, hogy az A ⊆ C halmazon értelmezett f függvény folytonos a z ∈ A pontban, ha z-ben f folytonos mint R² ⊇ A $\to$ R² függvény. Maga az f folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

A többváltozós valós analízisből ismert tény miatt fennáll:

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy pontjában, ha ott a függvény valós és képzetes része, mint kétváltozós valós függvény folytonos. Azaz, ha f-et a következő alakban írjuk:

$f(z)\equiv f(x,y)=u(x,y)+\mathrm{i}\cdot v(x,y)$

ahol u és v valós értékű függvények (rendre Re(f) és Im(f)), továbbá z₀ = x₀ + iy₀ ∈ Dom(f), akkor a következők ekvivalensek:

1. f folytonos a z₀-ban
2. u és v függvények folytonosak az (x₀,y₀)-ban

Határérték

Komplex függvény C-beli pontban vett C-beli határértéke ugyanúgy értelmezett, mint az R² esetben. Itt is érvényes, hogy pontosan akkor látezik a határérték, ha a komponensfüggvényeknek létezik a határértéke és ekkor a határérték egyenlő lesz a valós és képzetes komponens határértékéből alkotott komplex számmal.

A ∞ miatt érdemes külön is megfogalmazni a határérték definícióját, bár az teljesen analóg a valós esettel. Legyen f egy az A ⊆ C halmazon értelmezett, C-be képező függvény. Legyen $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ az A torlódási pontja, azaz minden r > 0 esetén legyen olyan a ∈ A, hogy a ∈ B_r(u)\{u}. Azt mondjuk, hogy az f-nek a $\scriptstyle{v\in \overline{\mathbf{C}}}$ elem határértéke az u-ban, ha

minden ε > 0 esetén létezik olyan δ > 0, hogy minden z ∈ A ∩ B_δ(u)\{u}-re f(z) ∈ B_ε(v)

ahol természetesen a ∞ környezetei a már említett módon értendők.

A kétváltozós függvények közötti határérték-folytonosság kapcsolat is megfogalmazható komplex módon. Itt az f = u + vi függvény határértékén a z = x + iy pontban a lim_x u + i lim_y v szám adja. Ekkor

Állítás. Az f komplex függvény pontosan akkor folytonos az értelmezési tartománya egy belső pontjában, ha ott a függvénynek létezik határértéke és az a helyettesítési érték.

$\lim\limits_{z\to z_0} f(z)=f(z_0)$

A komplex függvények folytonosságának egyik, de nem egyetlen feltétele az, hogy az (u,v) reprezentáció R²-ben lineáris legyen, hiszen a véges dimenziós normált terek között ható lineáris leképezések folytonosak. A nem-folytonosságnál érdemes a határérték nem létezését vizsgálni, hátha ez célra vezet.

Feladat folytonosságra

Feladat. Legyen w ∈ C. Igazoljuk, hogy az alábbi függvények folytonosak!

1. $z\mapsto w + z\,$
2. $z\mapsto w\cdot z\,$
3. $z\mapsto \overline{z}\,$
4. $z\mapsto \frac{1}{z}\quad\quad (z\ne 0)$

Megoldás.

Az 1. az R²-ben eltolás a w-nek megfelelő vektorral (Re(w), Im(w))-vel, így affin leképezés, ami folytonos.

2. a w mátrixreprezentációjának megfelelő mátrixszal való szorzás, azaz lineáris leképezés, s így folytonos.

3. azaz a konjugálás: (x,y) $\mapsto$ (x,–y) a valós tengelyre való tükrözés, ami szintén lineáris.

Végül a reciprok:

$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$

így, mint R² ⊃$\to$ R² függvény:

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} \cfrac{x}{x^2+y^2} \\ \cfrac{-y}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

amely olyan, hogy mindkét komponensfüggvénye folytonos valós függvényekből van összeállítva a folytonosságot megőrző módon, azaz az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos.

Feladat. Folytonos-e a z = 0-ban az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{Im}(z)^3+\mathrm{i}\cdot\mathrm{Re}(z)^4}{\overline{z}\cdot z},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne 0\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=0 \end{matrix} \right.$

Megoldás.

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,0), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{y^3}{x^2+y^2} \\ \cfrac{x^4}{x^2+y^2} \end{pmatrix}$

A komponensfüggvények felírhatók egy 0-hoz tartó és egy korlátos függvény szorzataként:

$\left|\cfrac{y^3}{x^2+y^2}\right|=|y|\cdot\frac{y^2}{x^2+y^2}\leq |y|\cdot\frac{y^2}{y^2}=|y|$

és

$\left|\cfrac{x^4}{x^2+y^2}\right|=x^2\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq x^2\cdot\frac{x^2}{x^2}=x^2$

így (x,y)$\to$(0,0) esetén a 0-hoz tartanak, így a függvény maga a (0,0)-hoz, azaz a komplex 0-hoz. Mivel itt a függvény értéke 0, ezért f a 0-ban folytonos.

Ha folytonos komplex függvényekből alapműveletek segítségével alkottunk függvényeket, akkor azok is folytonosak maradnak, mert a megfelelő R²-beli függvények ekkor olyanok lesznek, melyek mindegyik komponensfüggvénye a valós alapműveletek segítségével vannak definiálva. Ám, ezek megőrzik a folytonosságot.

Állítás. Ha f és g komplex függvények és az z₀ pontban (mindketten értelmezettek és) folytonosak, akkor

1. f + g
2. f $\cdot$ g
3. $\overline{f}$
4. g(z₀) ≠ 0 esetén f/g

is folytonos z₀-ban.

Folytonos függvények kompozíciója is folytonos (az kompozíció értelmezési tartományán).

Feladat. Folytonos-e a z = i-ben az

$f(z)=\left\{ \begin{matrix} \cfrac{\mathrm{i}z+1}{|z-\mathrm{i}|},\quad\quad\mathrm{ha}\;z\ne \mathrm{i}\\ \\ 0,\quad\quad \mathrm{ha}\;z=\mathrm{i} \end{matrix} \right.$

Ha z = x + iy és (x,y) ≠ (0,1), akkor:

$f(x,y)=\begin{pmatrix} \cfrac{-y+1}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \\ \cfrac{x}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}} \end{pmatrix}$

Már az első komponens határértéke sem létezik, hisz (x,y)=(0,y) mentén alulról a (0,1)-hez tartva a határérték -1, az x=y-1 mentén pedig -1/gyök kettő.

A második tényező szintén nem.

Feladatok határértékre

Feladat. Igazoljuk definíció szerint, hogy

1. $\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}=\infty$
2. $\lim\limits_{z\to \infty}\frac{1}{z}=0$

1. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| < δ esetén, hogy a függvényérték a ∞ ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|>\frac{1}{\varepsilon}$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|<\varepsilon$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| < δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

2. Legyen ε > 0. Ekkor azt kell belátnuk, hogy létezik δ > 0, hogy teljesüljön |z| > 1/δ esetén, hogy a függvényérték a 0-nak ε sugarú környezetébe esik, azaz:

$\left|\frac{1}{z}\right|<\varepsilon$

Világos, hogy ezt azt jelenti, hogy

$|z|>\frac{1}{\varepsilon}$

amit reciprokvonással kaptunk. Ha tehát ha δ := ε és |z| > 1/δ, akkor "felfelé" következtetve kijön a kívánt egyenlőtlenség.

A végtelen határérékkel történő számolás szabályai előtt definiálnunk kell néhány kibővített műveletet. Ezt a következők szellemében tesszük:

Ha a és b valamelyike a ∞ szimbólum (a másik, ha nem ilyen, akkor komplex szám), akkor az a * b alapműveletet akkor értelmezzük a c szimbólumként (mely szintén vagy komplex szám, vagy az ∞), ha minden a határértékű f függvény esetén és minden b határértékű g függvény esetén a f*g szükségszerűen a c-hez tart. Ekkor mondjuk tehát, hogy az

a * b = c

definíció jó.

Például a ∞ + ∞ művelet feltétlenül értelmezett és értéke a ∞, mert könnyen látható, hogy bármely két, a ∞-hez tartó függvény összege is a ∞-hez tart. De a 0 $\cdot$ ∞ művelet nem értelmezhető, mert van két függvénypár, mely ilyen alakú határértékekkel rendelkezik, de a szorzatuk máshoz tart. Pl.: (1/Re(z)) $\cdot$ Re(z) $\to$ 1, a z=0-ban, de (1/Re(z)) $\cdot$ 2 Re(z) $\to$ 2 a z=0-ban.

Definíció – Végtelen és alapműveletek – Az alábbi műveleti szabályokat vezetjük be a ∞, szimbólumra vonatkozóan, az alábbiakban z tetszőleges komplex szám, n tetszőleges nemnulla komplex szám:

1. $\infty+z=\infty$,
2. $\infty-z=\infty, \quad\quad z-\infty=\infty$,
3. $\infty\cdot\infty=\infty, \quad\quad \infty\cdot n=\infty$,
4. $\frac{z}{\infty}=0 \quad\quad \frac{\infty}{z}=\infty$,

továbbá a szorzás és az összeadás kommutatív.

Megjegyezzük még, hogy $\overline{\infty}=\infty$, azaz a végtelen konjugáltja saját maga.

Definíció – Határozatlan esetek – Az alábbi alapműveletek nem értelmezhetők:

1. $\infty-\infty$,
2. $0\cdot\infty, \quad\quad \infty\cdot 0$,
3. $\frac{\infty}{\infty}$,
4. $\frac{0}{0}$

Tétel – Végtelen határérték és alapműveletek – Ha az f és g komplex függvényeknek létezik határértékük az $\scriptstyle{u\in \overline{\mathbf{C}}}$ helyen, az f * g alapművelettl elkészített függvény értelmezési tartományának torlódási pontja u és a lim_u f * lim_u g alapművelet elvégezhető, akkor az f * g függvénynek is van határértéke u-ban és ez:

$\lim\limits_u(f\mbox{*}g)=\lim\limits_u f\,\mbox{*}\, \lim\limits_u g \,$

Ezenkívül a határozatlan esetekben, amikor a határértékekkel végzett műveletek nem értelmezettek, az alapműveletekkel elkészített függvények határértékeire nem adható általános képlet (mert alkalmasan választott esetekben máshoz és máshoz tartanak).

A bizonyításról. Ennek a tételnek a bizonyítása minden nehézség nélkül elvégezhető vagy az R²-beli sorozatokra vonatkozó átviteli elv vagy a komponensfüggvények határértékére történő hivatkozás útján. Minenekelőtt azt kell szem előtt tartanunk, hogy a végtelenhez való tartás, a függvény abszolútértékének plusz végtelenhez tartását jelenti:

$\exists\lim\limits_{z_0}f=\infty \quad\Longleftrightarrow \quad\exists\lim\limits_{z_0}|f|=+\infty$

Feladat. Adjuk példákat arra, hogy a határozatlan alakú határértékeket valóban nem lehet definiálni.

Nézzük a 0-ban az alábbi függvényeket:

$\frac{2}{z}\;-\;\frac{1}{z}=\frac{1}{z}\quad\to \infty$ miközben $(\frac{1}{z}+2)\;-\;\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}\;\cdot z=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}\;\cdot\;z=2\quad\to 2$

$\frac{1}{z}/\frac{1}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2}{z}/\frac{1}{z}=2\quad\to 2$

$\frac{z}{z}=1\quad\to 1$ miközben $\frac{2z}{z}=2\quad\to 2$

Feladat. Számítsuk ki az alábbi határértékeket, ha léteznek!

1. $\lim\limits_{z\to 0}\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}$,
2. $\lim\limits_{z\to i}\frac{z-i}{z^2+1}$,
3. $\lim\limits_{z\to 1}\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}$,
4. $\lim\limits_{z\to 0}\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}$,
5. $\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}$,

Megoldás. 1. nemnulla z-re:

$\frac{\mathrm{Im}(z)}{z}=\frac{\mathrm{Im}(z)\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{yx-y^2\mathrm{i}}{x^2+y^2}$

de ekkor például az első komponensfüggvény x = 0 felől közelítve 0, míg az x = y-felől:1/2, azaz nem létezik az első komponensnek a (0,0)-ban határértéke, azaz a komplex függvénynek sem.

2. $\frac{z-i}{z^2+1}=\frac{z-i}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{z+i}\quad\longrightarrow_{z\to i}\quad\infty$

3. $\frac{\frac{1}{z-1}+i}{\frac{1}{z^2-1}-i}=\frac{ \frac{1+iz-i}{z-1} }{ \frac{1-iz^2+i}{z^2-1} }=\frac{1+iz-i}{z-1}\cdot \frac{(z+1)(z-1)}{1-iz^2+i}$

$\left.\frac{iz+1-i}{-iz^2+i+1}(z+1)\right|_1=\frac{1}{1}\cdot 1$

4. $\frac{1}{z}-\frac{2}{\overline{z}}=\frac{\overline{z}-2z}{z\overline{z}}$ csak a valós részt nézve:

$\left|\frac{-x}{x^2+y^2}\right|$

az (x,y)=(x,0) esetben a (0,0)-hoz tartva: végtelen, de (x,y)=(0,y), akkor 0. tehát nincs határérték.

5. $\lim\limits_{z\to -i}\frac{\frac{1}{z+i}+i}{\overline{z}-i}=\left(\frac{\infty}{0}\right)=\infty$.

Feladat. Adjuk meg minden z₀ ∈ C számra az alábbi függvény határértékét!

1. $f(z)=\frac{z}{\overline{z}-z}$,
2. $f(z)=\frac{z^2}{\overline{z}z-1}$,

1. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}\ne z\}$

Folytonos az értelmezési tartományában. A határon:

$\frac{z}{\overline{z}-z}=\frac{x+iy}{2iy}\,$

z₀ ≠ 0 esetén

$\left|\frac{x+iy}{2iy}\right|\geq \frac{|z_0|/2}{2|y|}\to \infty$

z₀ = 0 esetén:

$\frac{x+iy}{2iy}=\frac{1}{2}-i\frac{x}{2y}$

ismert, hogy nincs határérték.

2. $\mathrm{Dom}(f)=\{z\in \mathbf{C}\mid \overline{z}z\ne 1\}$

Az egységkör pontjaitól különbözőkre folytonos, az egységkörön a végtelen, a végtelenben pedig nincs határérték. Ugyanis:

$|f(z)|=\frac{|z|^2}{|\overline{z}z-1|}$,

így az egységkörön a számláló az 1-hez, a nevező a nullához tart. A végtelenben pedig t valóssal:

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t+0.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{t^2}{t^2-1}= 1\,$

$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t.i)=\lim\limits_{t\to +\infty} \frac{-t^2}{t^2-1}= -1\,$

C-differenciálhatóság

A komplex differenciálhatóság az előző észrevételekkel szoros kapcsolatban lesz. Egyfelől

$(w\cdot z)'=w\in \mathbf{C}$

$(z^2)'=2z\in \mathbf{C}$

mutaja, hogy ha a Jacobi-mártix hasonlóképpen viselkedik a komplex számok mátrixreprezentációjában, mint az egyváltozós valós derivált. Másrészt a

$(\overline{z})'=(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & -1\end{smallmatrix})\notin \mathbf{C}$

mutatja, hogy nem minden valósan deriválható függvény lesz komplex deriválható. Nézzük akkor az egyváltozós valós mintájára a definíciót majd lássuk a komplex differenciálhatóság jellemzését.

Definíció - Komplex differenciálhatóság, komplex derivált - Legyen f a z₀ egy környezetében értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f C-deriválható z₀-ban és deriváltja a w szám, ha

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Jelölése: f'(z₀).

Azt, hogy az f a z₀-ban komplex deriválható még úgy is jelöljük, hogy

$f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$.

Pontbeli deriváltra példa a következő.

Példa. Milyen n egész számokra deriválható a 0-ban az alábbi függvény?

$f(z)=\begin{cases}\overline{z}\cdot z^n, & z\ne 0\\ 0, & z=0 \end{cases}$

Mo. Ha n>0, akkor a különbségi hányados:

$\frac{\overline{z}\cdot z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}\cdot z^n}{z}=\overline{z}\cdot z^{n-1}\to 0$ ha z $\to$ 0.

Ha n = 0, akkor

$\frac{\overline{z}-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z}=e^{i(-2\varphi)}$

aminek nincs határértéke a 0-ban (az egységkörön mozog a végpont).

Ha n < 0, akkor

$\frac{\overline{z}z^n-0}{z-0}=\frac{\overline{z}}{z^{-n+1}}=\frac{\overline{z}}{z}\frac{1}{z^{-n}}$

ami a 0-ban a komplex végtelenbe tart, mert a hossza a végtelenbe tart.

Tehát n > 0-ra a függvény komplex deriválható a 0-ban, más n < 1-re nem deriválható.

Tétel. - A komplex differenciálhatóság jellemzése - Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény. Ekkor az alábbiak ekvivalensek:

1) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{C}}(z_0)$

2) $f\in \mathrm{Diff}_{\mathbf{R}}(x_0,y_0)$ és $[\mathrm{d}f(x_0,y_0)]\in\mathbf{C}$.

Bizonyítás. Legyen f a z₀ = x₀ + iy₀ egy környezetében értelmezett függvény és w komplex szám. Tekintsük a következő határértéket:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)-[w]\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}=0$

ahol az z, z₀, f(z), f(z₀) mennyisegekre ugy tekintunk, mint vektorokra. Ez ekvivalens a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{|z-z_0|}-\frac{w\cdot (z-z_0)}{|z-z_0|}\right|=0$

ahol az elobb emlitettek mar algebrai ertelemben komplex szamok, nem feltetlenul vektorok. Azaz

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{z-z_0}{|z-z_0|}\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right)\right|=0$

Itt (z-z₀)/|z-z₀| a komplex egységkörön "futó" függvény, hossza 1, ezért a fenti ekvivalnes a következővel:

$\lim\limits_{z\to z_0}\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-w\right|=0$

Ami viszont ugyanakkor igaz mint:

$\lim\limits_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=w$

Ha a következtetésben felfelé vizsgálódunk, tehát feltesszük a komplex deriválhatóságot ahol w a komplex derivált, akkor azt kapjuk, hogy a w mátrixreprezentációjával való mátrixszorzás alkalmas lineáris leképezés a valós derivált számára, azaz létezik [df(z₀)]=[w].

Másfelől, ha f valósan deriválható és a deriváltja a w komplex számot reprezentálja, akkor komplexen is deriválható es komplex derivaltja pont w.

Cauchy--Riemann-egyenletek A fenti tételben a [df(z)] ∈ C feltétel (természetesen a totális deriválhatóság esetén) ekvivalens az alábbiakkal. Ha f = u + iv és z = x +iy, akkor

$\begin{cases} \partial_xu=\partial_yv\\ \partial_yu=-\partial_x v \end{cases}$

Komplex deriváltfüggvény Ahol egy f komplex függvény komplex deriválható, ott a deriváltja:

$f'(z)=\partial_x u+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_y v+\mathrm{i}\partial_xv=\partial_xu-\mathrm{i}\partial_yu=\partial_y v-\mathrm{i}\partial_yu$

Definíció - Regularitás - Az f komplex függvény reguláris a z pontban, ha f a z egy egész környezetén értelmezett, és a teljes környezetben komplex deriválható.

Feladat. Legyen f(x+iy)=|x|+i|y|. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Feladat. Legyen f(x + iy) = x² + iy³. Hol komplex deriválható és hol reguláris f?

Harmonikus társ keresése

Azt mondjuk, hogy a kétszer differenciálható u=u(x,y) valós függvény harmonikus, ha

$u_{xx}''+u_{yy}''\equiv \Delta u\equiv 0\,$

itt Δ a Laplace-operátor (nem a Laplace-transzformátor!, hanem a vektoranalízisbeli vektormezőre Hesse-mátrix nyoma).

A C--R-egyenletek mutatják, hogy ha f=u+iv reguláris, akkor u és v harmonikus függvények. Ugyanis:

$u_x'=v_y'\,$ és

$v_x'=-u_y'\,$

De u és v Hesse-mátrixa is szimmetrikus, ezért:

$v_{yy}''=u_{xy}''=u_{yx}''=-v_{xx}''\,$

azaz

$\Delta v\equiv 0\,$ és fordítva.

Általában az a feladat, hogy ha adott u, akkor keressük az ő harmonikus társát, v-t, mellyel u+iv reguláris. Ha tehát adott u, akkor van F és G, hogy

$F=v_y'\,$

$G=-v_x'\,$

Ami az egzakt differenciálegynlet megoldásánál tanult parciális differenciálegyenlet megoldását igényli v-re, mint potenciálfüggvényre (ekkor f-et komplex pontenciálnak nevezzük, mármint a (v'_x(x,y),v_y'(x,y)) síkbeli vektormező komplex pontenciáljának; a v valódi pontenciálja lenne. Ennek szükséges utánanézni máshol is!)

1.. Keressünk harmonikus párt az

$u=x^4+y^4-6x^2y^2\,$

függvényhez!

Mo. Van neki, ha Δ=0. Ezt ellenőrizni kell, majd az előző módszerrel megkeresi v-t, amivel u+iv reguláris.

6. gyakorlat

8. gyakorlat