Matematika közlek a3 2010 4. gyakorlat

Komplex elemi függvények

Adjuk meg algebrai alakban:

1. $\sin(3-4i)\,$
2. $\mathrm{sh}(1+i\frac{\pi}{2})$
3. $e^{1-i\,\mathrm{arc\,sin}\,\frac{1}{3}}$
4. $\mathrm{ln}(-5+5i)\,$
5. $(1+i)^{i}\,$

Mo.

$\sin(3-4i)=\frac{e^{i(3-4i)}-e^{-i(3-4i)}}{2i}=\frac{e^{3i+4}-e^{-3i-4}}{2i}=\frac{e^{3i}e^4-e^{-3i}}{2i}=...$

$\mathrm{ln}(-5+5i)=\mathrm{ln}(5\sqrt{2})+\mathrm{ln}(\frac{3}{4}\pi i)=\mathrm{ln}(5\sqrt{2})+i\frac{3}{4}\pi$

Oldjuk meg!

1. $e^{-z}+1=0\,$
2. $\sin(z i)=0\,$
3. $\sin 5^z=1\,$

Mo.

$e^{-z\pi}=-1=e^{\pi i}\,$

$-z\pi=\pi i +2k\pi i\,$

$e^{-z}-\frac{1}{e^{z}}=0\,$

...

$e^{5^z}-\frac{1}{e^{5^{z}}}=1\,$