Matematika verseny/2012
Tartalomjegyzék |
Matematika verseny 2012
A 2012. évi BME Matematika versenyt 2012. április 17-n rendezték meg. A verseny általános leírását lásd a Matematika verseny lapon, a feladatsort és eredményeket Horváth Miklós honlapján.
Ez a lap a feladatokat tartalmazza, de ide (vagy allapokra) lehet írni a feladatok megoldását vagy megjegyzéseket hozzájuk.
1. feladat
Legyenek a és b relatív prím természetes számok. Melyik az a legnagyobb természetes szám, amely nem áll elő ak1 + bk2 alakban, ahol k1,k2 nemnegatív egészek?
2. feladat
Legyen folytonos függvény, melyre véges határérték. Mutassuk meg, hogy bármely δ > 0 mellet az improprius integrál konvergens és
3. feladat
Legyen T1(x) az ex függvény a pontbeli érintőegyenese. Melyik a értékre lesz max[0,1] | ex − T1(x) | a legkisebb?
4. feladat
Egy tetraéder AB és CD élei merőlegesek egymásra, mindegyik 2a hosszú. A felezőpontjaikat összekötő EF szakasz mindkét élre merőleges, az AC, AD, BC, BD éleknél lévő lapszögek 60°-osak. Meghatározandó a tetraéder beírt és körülírt gömbjeinek sugara.
5. feladat
Keressük meg az összes olyan folytonosan differenciálható függvénypárt, melyre f2 + g2 = 1 és f'2 + g'2 = 1.
6. feladat
Adott egy n szögpontú egyszerű gráf. Bizonyítsuk be, hogy
a. Ha minden pont foka legalább 3, akkor van a gráfban páros hosszú kör.
b. Abból, hogy minden pont foka legalább (n − 1) / 2, nem következik, hogy van a gráfban páratlan kör. Adjunk ellenpéldát minden n-re.
c. Ha minden pont foka legalább (n + 1) / 2, akkor van a gráfban páratlan kör.
7. feladat
Az félsíkban tekintsünk Kn köröket, melyek az origóban érintik az y tengelyt, és Kn sugara kétszerese Kn + 1 sugarának, . Adott jelre a Kn + 1 körök azonos konstans szögsebességgel gördülni kezdenek a Kn körvonalon, azt belülről érintve, negatív forgásirányban. A Kn kör középpontja által leírt görbe legyen Γn. Mi lesz Γn határgörbéje, ha ? Adjuk meg a határgörbe paraméterezését.
8. feladat
A összeg milyen n esetén egész szám?
9. feladat
Legyen akárhányszor differenciálható és tegyük fel, hogy az függvénysor lokálisan egyenletesen konvergens. Adjuk meg az S(x) összegfüggvényt zárt alakban.
10. feladat
Legyenek lineáris leképzések. Bizonyítsuk be, hogy vannak olyan , direkt összeg-felbontások, hogy i = 1,2-re , és .
11. feladat
Sorban állok a postán. n ablaknál szolgálják ki az ügyfeleket. Egyetlen sor van, ahonnan az éppen felszabaduló ablakhoz megy, aki következik. Egy ügyfél kiszolgálási ideje bármelyik ablaknál független, λ > 0 paraméterű exponenciális eloszlást követ. Mi a valószínűsége annak, hogy a k-ik ugánam következő előbb végez, mint én? Mi a válasz akkor, ha az i-ik ablaknál a kiszolgálási idő eloszlása λi > 0 paraméterű exponenciális eloszlás?