OptMod-2017/Gyakorlat1

A MathWikiből

Tartalomjegyzék

Ismétlés

LP feladat általános modellje

Korlátozó feltételek felírjuk a következõ alakban:



\begin{align}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &\leq b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &\leq b_2\\
&\vdots\\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n &\leq b_m
\end{align}


ahol x_i \geq 0 \, \forall i=1,2,\ldots,n. A célfüggvényt a következõ alakban írjuk fel:



z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots + c_nx_n \Rightarrow \text{max vagy min}


Ugyanez vektorokkal és mátrixokkal:



\begin{align}
\overrightarrow{x} &\geq 0\\
A\overrightarrow{x} &\leq \overrightarrow{b}\\
z=\overrightarrow{c}^T\overrightarrow{x}&\Rightarrow\text{max vagy min}
\end{align}


Szimplex módszer

Készítsük el az induló szimplex táblát:


\begin{array}{c|cccc|c}
  & x_1 & x_2 & \cdots & x_n & \overrightarrow{b}\\\hline
u_1 & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
u_2 & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
u_m & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m\\\hline
-z & c_1 & c_2 & \cdots & c_n & 0
\end{array}


Ha ez megvan, akkor a következõ lépéseket tesszük:

  1. Generáló elemet választunk, természetesen csak abból az oszlopból, ahol a célfüggvény együtthatója nem negatív (különben nem növelnénk, hanem csökkentenénk a célfüggvény értékét). Abból az oszlopból érdemes választani, ahol a legnagyobb a célfüggvény együtthatója.
  2. Generáló elemnek csak pozitív számot választunk, különben sértenénk a változók nemnegativitását.
  3. Azt az elemet választjuk, amelynél a legszûkebb a keresztmetszet, azaz amire \frac{b_i}{a_{ij}} a legkisebb és aij pozitív.
  4. Ezzel az elemmel pivotálunk (Erre több módszer is van, így mindenki azt használja ami neki kényelmes, csak egyet írok le)
    • A generáló elem oszlopának elemeit osztjuk a generáló elem -1-szeresével.
    • A generáló elem helyére a reciprokát írjuk.
    • A többi elem a szokásos bázistranszformáció és egyenletrendszernél megszokott módszerrel számoljuk.
  5. Ha nincs már pozitív célfüggvény együttható, akkor megtaláltuk az optimális megoldást, ha nem tudunk generáló elemet választani, akkor nincs fízibilis megoldása a problémának.

Excel solver

1. feladat

A Kefe Zrt. üzemében 4 féle kefefejet készítenek: K-1, K-2, K-3, és K-4. A kefefejek műanyag sörtékből készülnek, amelyek előállításához különböző minőségű alapanyagokat szoktak beszerezni. Jelenleg az I. osztályúból 22 600 kg, a II. osztályúból 25 400 kg, míg a III. osztályúból 2 600 kg áll rendelkezésre.

A különböző kefefejek természetesen különböző összetételűek. A következő táblázat tartalmazza hogy a különböző kefefejfajták esetén 100 darab elkészítéséhez mennyi és milyen minőségű műanyag szűkséges.


I. II. III.
K-1 9 4 1
K-2 2 7 1
K-3 3 3 0
K-4 0 4 2


Az egyes kefefajták darabjának nyeresége a Kefe Zrt.-nek rendre 30, 22, 13 és 10 Ft.


A) Hány darabot készítsen az üzem a különféle kefefejekből, ha a maximális nyereség elérését tűzték ki célul?

B) Hogyan változik a felírás és a megoldás, ha a választék megtartása érdekében a Kefe Zrt. úgy dönt, hogy a K-1-ból legalább 50 000 db-ot, a K-2-ból legalább 100 000 db-ot, a K-3-ból legalább 300 000 db-ot, a K-4-ból pedig legalább 30 000 db-ot kell az üzemnek gyártania?


2. feladat

Egy vállalat négy fekete teából készíti a Mély Harmónia nevű keverékét. Az alapanyagok: Assam, Darjeeling, Yunan, Ceylon. Három összetevőre kell tekintettel lenni: a frissítő hatást okozó teintartalomra, hogy az se túl sok, se túl kevés ne legyen; a savtartalomra, mert ha az túl sok, akkor nem kellemes a tea íze; és ugyancsak a Mély Harmónia közismerten selymes íze miatt az aromaanyagokra, amelyeknek ismét csak szűk határok között kell lenniük.

Az alábbi táblázat mutatja, hogy a négy eredeti tea idei termése ezekből mennyit tartalmaz, illetve az árukat eurocentben kifejezve, valamint az igényelt alsó és felső korlátot:


tea tein sav aroma ár
Assam 1,2 4,0 0,4 70
Darjeeling 2 6,5 0,2 44
Yunnan 1,8 5,0 0,25 63
Ceylon 1,6 3,0 0,35 24
alsó korlát 1,59 0 0,3
felsõ korlát 1,61 4,5 0,32


Szeretnénk a lehető legolcsóbb módon a minőségi feltételeknek megfelelő teát előállítani.


3. feladat

A Metro Food Services Company minden reggel friss szendvicsekkel látja el a New York aluljáróiban található automatákat. A cég háromféle szendvicset készít: sajtos-baconos, sonkás, és csirkés.

Egy sajtos-baconos szendvics elkészítése egy munkásnak megközelítőleg 0,45 percbe, egy sonkás szendvics 0,41 percbe, míg egy csirkés szendvics 0,5 percbe telik. A cégnek összesen 16 munkaóra áll rendelkezésére.

Az automaták összkapacitása 2000 szendvics.

A szendvicseken elérhető profit rendre $0,35, $0,42, és $0,37.

Tapasztalatból tudjuk, hogy a vásárlók imádják a bacont, így legalább annyi sajtos-baconos szendvicset fogyasztanak, mint a másik két szendvicsből együttvéve. Ugyanakkor fontos a változatosságnak legalább a látszatát fenntartani, így mindegyik szendvicsből legalább 200-at kell készíteni.

a) Adjunk meg optimális szendvicskészítési stratégiát!

b) A nyereség egy részét vissza szeretnénk forgatni a vállalkozásba. Lehetőségünk van felvenni egy szendvicskészítőt (8 órás munkaidőben), vagy telepíteni egy új, 100 szendvics kapacitású automatát. Melyiket válasszuk?

c) Mennyivel nőne a profitunk, ha nem kötnénk ki, hogy mindegyik szendvicsből kell 200-at készítenünk?

d) Mennyivel nőne a profitunk, ha rosszabb minőségű, de szendvicsenként 5 centtel olcsóbb baconből készítenénk a sajtos-baconös szendvicset? (Próbáljuk meg először újraoptimalizálás nélkül megtippelni az eredményt!)

Személyes eszközök