Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyváltozós illetve valós értékű függvény deriváltja) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
||
(egy szerkesztő 5 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
198. sor: | 198. sor: | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
− | 1) Polárkoordinátásan könnyen kijön, hogy ez a függvény totálisan deriválható. | + | 1) Polárkoordinátásan könnyen kijön, hogy ez a függvény totálisan deriválható. Parciális deriváltjai a 0-ban: 0. |
− | 2) Melyek a parciális | + | 2) Melyek a második parciális deriváltjai a 0-ban? |
+ | :<math>f(x,y)=\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}\qquad (x,y)\ne(0,0) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_{1}f(x,y)=\frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-2x(x^3y-xy^3)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{3x^4y-x^2y^3+3x^2y^2-y^5-2x^4y+2x^2y^3}{(x^2+y^2)^2}=\frac{x^4y+x^2y^3+3x^2y^2-y^5}{(x^2+y^2)^2}</math> | ||
+ | :<math>\partial_1(\partial_{1}f)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4\cdot 0+x^2\cdot 0^3+3x^2\cdot 0^2-0^5}{x(x^2+0^2)^2}=0</math> | ||
+ | :<math>\partial_2(\partial_{1}f)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0^4y+0^2y^3+3\cdot 0^2y^2-y^5}{y(0^2+y^2)^2}=\lim\limits_{y\to 0}\frac{-y^5}{y^5}=-1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\partial_{1}f(x,y)=\begin{cases}0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | \frac{}{(x^2+y^2)^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | 0\end{cases} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_{1}(\partial_{1}f)(0,0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{klkj}{asdsa} | ||
+ | </math> | ||
<!-- | <!-- | ||
223. sor: | 238. sor: | ||
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
--> | --> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<center> | <center> |
A lap jelenlegi, 2017. február 19., 21:57-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Tartalomjegyzék |
További példák
1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b) (Használjuk az határértéket.)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
- h)
- i)
- k)
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Differenciálhatóság
Definíció és folytonosság
Azt mondjuk, hogy az függvény (totálisan) differenciálható az pontban, ha létezik olyan lineáris leképezés, hogy
Ez az A lineáris leképezés egyértelmű és ha kell, df(u)-val jelöljük.
Egy ezzel ekvivalens megfogalmazást is kimondunk, ami rendkívül jól használható feltétel lesz később. A fenti f differenciálható az értelmezési tartományának belső u pontjában, ha létezik olyan függvény és lineáris leképezés, hogy
- 1) minden -re: és
- 2) és .
Ebből rögtön következik, hogy differenciálható függvény folytonos.
Deriválható-e az
függvény?
Parciális differenciálhatóság és differenciálhatóság
Ha f:RnRm (totálisan) differenciálható az értelmezési tartományának u belső pontjában, akkor f parciálisan differenciálható u-ban és df(u) mátrixa a sztenderd bázisban:
Bizonyítás. Bőven elég egy komponensfüggvénnyel rendelkező függvényre igazolni. A határérték és függvénykompozíció kapcsolatára vonatkozó tétel szerint, ha a belső pontja a Dom(g)-nek, g injektív és g(a) belső pontja Dom(h)-nak és létezik g-nek (véges) határértéke a-ban és h-nak a g-nek az a-beli határértékében, akkor a hog-nek is létezik a-ban határértéke és
Innen a g:x(t) = u + tei függvénnyel(, ahol ei az i-edik sztenderd báziselem) és az a = 0 ponttal teljesül, hogy
Példa. Tekintsük az
Ekkor
Viszont g nem totálisan diffható, mert a (t,t) mentén a (0,0)-ba tartva:
ami nem létezik.
Persze g nem folytonos, és így nem is lehet totálisan differenciálható.
Példa.
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Ha e tetszőleges egységvektor, akkor
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható:
Folytonos parciális differenciálhatóság
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye létezik az u egy környezetében és u-ban a parciális deriváltak folytonosak, akkor u-ban f differenciálható. (Sőt, folytonosan differenciálható.)
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet tekintjük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x = (x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2) Ekkor az [x,v] szakaszon ∂1f-hez a Lagrange-féle középértéktétel miatt létezik olyan ξ(x1)∈[x1,u1] szám, és a [v,u] szakaszon ∂2f-hez ζ(x2)∈[x2,u2] szám, hogy
itt az
- és
függvények folytonosak u-ban (még ha a ξ, ζ függvények nem is azok), és értékük az u-ban 0. Világos, hogy ez azt jelenti, hogy f differenciálható u-ban.
Világos, hogy a parciális deriváltak folytonossága szükséges a fenti tételben. Az alábbi példában léteznek a parciális deriváltfüggvények az u egy környzetében, de az u-ban nem folytonosak.
Példa
A differenciálhatóság azonban nem elég ahhoz, hogy a parciális deriváltak folytonosak legyenek.
Az
differenciálható, hiszen ez az
függvény és r ≠ 0-ban:
Példa
1) Polárkoordinátásan könnyen kijön, hogy ez a függvény totálisan deriválható. Parciális deriváltjai a 0-ban: 0.
2) Melyek a második parciális deriváltjai a 0-ban?
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |