Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris leképezések folytonossága) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Többváltozós függvény szélsőértéke) |
||
(egy szerkesztő 15 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
− | == | + | ==Teljes differenciálhatóság, gyakorlás== |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | '''1.''' Hol deriválható? | |
+ | :<math>f(x,y)=\sqrt[3]{x^4+y^4}</math> | ||
− | :<math>\ | + | '''2.''' Hol deriválható? |
+ | :<math>\begin{cases} | ||
+ | \frac{x^2y^3}{x^4+y^4}, & (x,y)\neq (0,0)\\ | ||
+ | 0, & (x,y)=(0,0) | ||
+ | \end{cases} | ||
+ | </math> | ||
− | + | ==Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság== | |
+ | Ha e tetszőleges egységvektor, akkor | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\partial_{e}f(u)=[\mathrm{grad}\,f(u)]\cdot e=[\nabla f(u)]\cdot e</math> | ||
− | |||
− | :<math> | + | '''Példa.''' |
− | \ | + | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ |
− | + | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | </math> | + | |
− | + | Ekkor | |
+ | :<math>\mathrm{J}^f(0,0)=[0, 0]\,</math> | ||
− | ''' | + | Ha tehát differenciálható, akkor az '''iránymenti derivált'''ak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor): |
− | :<math> | + | |
− | </math> | + | :<math>\partial_ef(u)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(u+te)-f(u)}{t}=\mathrm{J}^f(0,0)\cdot e=e\cdot\mathrm{grad}\,f(u)</math> |
− | + | Ám, polárkoordinátákra áttérve: | |
+ | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> | ||
+ | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
+ | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
+ | ami nem differenciálható a 0-ban. | ||
− | + | Illetve nézzük meg a (3,4) vektor mentén! | |
− | ''' | + | '''Megjegyzés.''' Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ==Szélsőérték szükséges feltétele== | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''' parciálisan differenciálható, akkor | |
− | + | :<math>\mathrm{grad}\,f(x)=(\partial_1f(x),...,\partial_nf(x))</math> | |
− | + | mely lényegében az ''f'' elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math>\ | + | |
− | + | ||
− | + | Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | ''' | + | '''Tétel''' - ''Fermat-féle szésőértéktétel'' - Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' ∈ int Dom(''f''), ''f'' parciálisan differenciálható ''u''-ban. |
− | :<math>\mathrm{ | + | :Ha ''u''-ban ''f''-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor |
+ | ::<math>\mathrm{grad}\,f(u)=0_{\mathbf{R}^n}\,</math> | ||
+ | ''U.is:'' minden ''i''-re az ''i''-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ''u''<sub>i</sub>-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ''u''<sub>i</sub>-ben 0, így a gradiens értéke 0. | ||
− | + | ====Példa==== | |
− | :<math> | + | :<math>f(x,y)=x^2y^2\,</math> |
− | + | Ennek gradiense: | |
− | + | :<math>\mathrm{grad}\,f(x,y)=(2xy^2,2yx^2)</math> | |
+ | Az | ||
+ | :<math>\left. | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \mathrm{I.} & 2xy^2 & = & 0\\ | ||
+ | \mathrm{II.} & 2yx^2 & = & 0\\ | ||
+ | \end{matrix} | ||
+ | \right\}</math> | ||
+ | egyenletrendszer megoldásai: ''x'' = 0, ''y'' tetszőleges ill. ''y'' = 0 és ''x'' tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke. | ||
− | + | ==Magasabbrendű parciális deriváltak== | |
+ | Ha ''f'' parciálisan deriválható, akkor ∂<sub>1</sub>''f'' és ∂<sub>2</sub>''f'' szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például: | ||
− | :<math>\ | + | :<math>f(x,y)=x^2y^4+x^5-y^3\,</math> |
− | + | :<math>\partial_xf(x,y)=xy^4+5x^4</math> | |
+ | :<math>\partial_yf(x,y)=x^24y^3-3y^2</math> | ||
− | :<math>\ | + | :<math>\partial_x(\partial_xf)(x,y)=y^4+20x^3</math> |
− | + | :<math>\partial_y(\partial_yf)(x,y)=12x^2y^2-6y^2</math> | |
− | :<math>\ | + | :<math>\partial_y(\partial_xf)(x,y)=x4y^3</math> |
− | + | :<math>\partial_x(\partial_yf)(x,y)=4xy^3</math> | |
− | :<math>\ | + | |
− | + | ||
− | :<math> | + | |
+ | És valóban: | ||
− | + | '''Tétel.''' (Young-tétel) Ha a másodrendű parciális deriváltak léteznek az ''u'' egy környezetében és folytonosak az ''u'' pontban, akkor az ''u''-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek: | |
+ | :<math>\partial_x(\partial_y f)(u)=\partial_y(\partial_x f)(u)</math> | ||
+ | Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus: | ||
+ | :<math>H^f(u)=\begin{bmatrix} | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x^2} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y\partial x}\\\\ | ||
+ | \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial x\partial y} & \cfrac{\partial^2 f(u)}{\partial y^2} | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
− | + | '''Feladat.''' Az a kitétel, hogy az ''u''-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen | |
− | + | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | |
− | + | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | |
− | + | \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | |
− | :<math> | + | \end{matrix}\right.</math> |
− | + | Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | Ekkor a | + | |
− | + | Tekintsük a parciális deriváltakat: | |
+ | :<math>\partial_x(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_yf)(x,0)-(\partial_yf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_xf)(0,y)-(\partial_xf)(0,0)}{y}</math> | ||
+ | :<math>\partial_x(\partial_xf)(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(\partial_xf)(x,0)-(\partial_xf)(0,0)}{x}</math> | ||
+ | :<math>\partial_y(\partial_yf)(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{(\partial_yf)(0,y)-(\partial_yf)(0,0)}{y}</math> | ||
+ | Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y <math>\mapsto</math> (∂<sub>x</sub>f)(0,y), x <math>\mapsto</math> (∂<sub>y</sub>f)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak: | ||
+ | :<math>\partial_xf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(t,y)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }y=0\\ | ||
+ | -y,& \mbox{ ha }y\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x,t)-f(0,0)}{t}=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }x=0\\ | ||
+ | x,& \mbox{ ha }x\ne 0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(0,y)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(0,y+t)-f(0,0)}{t}=0</math> | ||
+ | :<math>\partial_xf(x,0)=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x+t,0)-f(0,0)}{t}=0</math> | ||
− | == | + | Megjegyezzük, hogy a g=(∂<sub>x</sub>f,∂<sub>y</sub>f) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa: |
− | + | :<math>J^g(0,0)=H^f(0,0)=\begin{bmatrix} | |
+ | 0 & -1\\ | ||
+ | 1 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{t\to 0}\frac{g(t,0)-g(0,0)-J^g(0,0)\cdot (t,0)}{|t|}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{(0,-t)}{|t|}\ne (0,0)\,</math> | ||
+ | márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne. | ||
− | + | ==Többváltozós függvény szélsőértéke== | |
− | + | :<math>f(x)=f(u)+\mathrm{J}_u^f(x-u)+(x-y)\mathrm{H}^f_u(x-u)+\varepsilon(x)||x-u||^2</math> | |
− | : <math> | + | ===Másodikderivált-próba=== |
− | + | Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad ''f''(u) = 0 és H<sup>f</sup>(u) az ''f'' Hesse-mátrixa | |
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') < 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''maximuma''' van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') > 0, akkor ''f''-nek ''u''-ban '''minimuma''' van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) < 0, akkor ''f''-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. '''nyeregpont'''ja van | ||
+ | # ha det H<sup>f</sup>(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy ''u'' szélsőérték hely-e. | ||
− | '' | + | ''Megjegyzések.'' Mivel kétváltozós esetben |
− | :<math>\ | + | :<math>\mathrm{det}\,\mathrm{H}^f(u)=\partial_{11}f(u)\cdot \partial_{22}f(u)-(\partial_{12}f(u))^2</math> |
+ | ezért olyan eset nem létezik, hogy det H<sup>f</sup>(u) > 0 és ∂<sub>11</sub>''f''(''u'') = 0. | ||
− | + | Világos, hogy a második derivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul). | |
− | + | ||
− | + | Ha tehát | |
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(u)=\begin{pmatrix} | ||
+ | A & B \\ | ||
+ | B & C | ||
+ | \end{pmatrix}</math>, akkor <math>\mathrm{det\,H}^{f}(u)=AC - B^2 </math>, | ||
+ | és így a tipikus példák a következők. | ||
− | + | ====Példák==== | |
− | :<math> | + | '''1.''' Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat. |
+ | :<math>f(x,y)=x^2+xy+y^2\,</math> | ||
+ | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , 2y + x ) és | ||
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | 2 & 1 \\ | ||
+ | 1 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum. | ||
− | ' | + | '''2.''' Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába. |
− | + | :<math>f(x,y)=x^2-3xy+y^2\,</math> | |
− | + | ||
− | : <math> | + | |
− | + | ||
− | + | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és | |
− | + | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | |
− | + | 2 & -3 \\ | |
− | + | -3 & 2 | |
− | + | \end{pmatrix}</math> | |
− | + | azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | '''3.''' Negatív A és C-re és kis B-re: | |
− | :<math> | + | :<math>f(x,y)=-x^2+xy-y^2\,</math> |
− | + | ||
− | === | + | Ekkor grad ''f'' = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és |
+ | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | ||
+ | -2 & 1 \\ | ||
+ | 1 & -2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum. | ||
− | + | '''4.''' Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é. | |
− | + | :<math>f(x,y)=x^2+xy-y^2\,</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math>f( | + | |
− | + | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + y , -2y + x ) és | |
− | + | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} | |
− | + | 2 & 1 \\ | |
− | + | 1 & -2 | |
− | + | \end{pmatrix}</math> | |
− | :<math>\ | + | azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | = | + | '''5.''' Atipikus eset, ha AC = B<sup>2</sup>. Ekkor nem jár sikerrel a próba: |
− | + | :<math>f(x,y)=x^2+2xy+y^2\,</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | :<math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Ekkor grad ''f'' = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és | |
− | :<math>\ | + | :<math>\mathrm{H}^{f}(x,y)=\begin{pmatrix} |
+ | 2 & 2 \\ | ||
+ | 2 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. | ||
+ | De tudjuk, hogy | ||
+ | :<math>f(x,y)=(x+y)^2\,</math> | ||
+ | ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték. | ||
− | + | '''6.''' | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | :<math>f(x,y)=3x^2-6xy+2y^3\,</math> | |
− | :<math> | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | '''7.''' | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\,</math> | ||
<center> | <center> |
A lap jelenlegi, 2017. február 27., 11:49-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Teljes differenciálhatóság, gyakorlás
1. Hol deriválható?
2. Hol deriválható?
Iránymenti deriválhatóság és differenciálhatóság
Ha e tetszőleges egységvektor, akkor
Példa.
Ekkor
Ha tehát differenciálható, akkor az iránymenti deriváltak (Gateau-deriváltak) is léteznek (e egységvektor):
Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Illetve nézzük meg a (3,4) vektor mentén!
Megjegyzés. Persze abból, hogy az összes iránymenti derivált létezik, abból nem következik, hogy a függvény totálisan deriválható.
Szélsőérték szükséges feltétele
Egyelőre állapodjunk meg abban, hogy gradiensnek nevezzük a következő többváltozós vektorértékű függvényt: ha f: Rn R parciálisan differenciálható, akkor
mely lényegében az f elsőrendű parciális deriváltjaiból képezett vektor.
Később a gradienst egy kissé másképp fogjuk értelmezni és amit most definiáltunk, az a gradiens sztenderd bázisbeli mátrixa lesz (adott pontra vonatkozóan).
Tétel - Fermat-féle szésőértéktétel - Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f), f parciálisan differenciálható u-ban.
- Ha u-ban f-nek (lokális) szélsőértéke van, akkor
U.is: minden i-re az i-edik parciális függvénynek szélsőértéke van ui-ben, így az egyváltozós Fermat-tétel miatt ezeknek a deriváltja ui-ben 0, így a gradiens értéke 0.
Példa
Ennek gradiense:
Az
egyenletrendszer megoldásai: x = 0, y tetszőleges ill. y = 0 és x tetszőleges. A szélsőértékek helyei csak ezek közül kerülhetnek ki és ezek valóban szélsőértékek is, mert ezeken a függvény 0-t vesz fel, ami a lehetséges legkisebb értéke.
Magasabbrendű parciális deriváltak
Ha f parciálisan deriválható, akkor ∂1f és ∂2f szintén kétváltozós függvények (a pontonként a deriváltak, mint függvényértékek értelmezésével) és érdeklődhetünk ezek parciális differenciálhatóságuk iránt. Például:
És valóban:
Tétel. (Young-tétel) Ha a másodrendű parciális deriváltak léteznek az u egy környezetében és folytonosak az u pontban, akkor az u-beli vegyes másodrendű parciláis deriváltak egyenlőek:
Azaz az alábbi, úgy nevezett Hesse-mátrix szimmetrikus:
Feladat. Az a kitétel, hogy az u-ban a másodrenrű parciláis deriváltak folytonosak, nem hagyható el, ugyanis. Legyen
Ekkor a 0-ban nem egyenlő a két vegyes parciális derivált.
Tekintsük a parciális deriváltakat:
Ehhez tehát elegendő kiszámítani a következő föggvényeket: y (∂xf)(0,y), x (∂yf)(x,0). Ehhez a parciális deriváltak:
Megjegyezzük, hogy a g=(∂xf,∂yf) függvény (0,0)-beli parciális deriváltjai nem lehetnek folytonosak, mert ott a függvény nem totálisan diffható. Ugyanis a g Jacobi-mátrixa:
ami a 90˚-os forgatás. Ekkor a g-t a (t,0) vektorral közelítve a 0-ba:
márpedig ha g minden parciális deriváltja folytonos lenne a (0,0)-ban, akkor g totálisan is deriválható lenne.
Többváltozós függvény szélsőértéke
Másodikderivált-próba
Kétszer differenciálható függvényre vonatkozóan megfogalmazhatjuk a lokális maximum és minimum létezésének elégséges feltételét. Csak a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk. Tegyük fel, hogy grad f(u) = 0 és Hf(u) az f Hesse-mátrixa
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor f-nek u-ban maximuma van
- ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor f-nek u-ban minimuma van
- ha det Hf(u) < 0, akkor f-nek biztosan nincs szélsőértéke, ún. nyeregpontja van
- ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel, azaz további vizsgálatokat igényel annak eldöntése, hogy u szélsőérték hely-e.
Megjegyzések. Mivel kétváltozós esetben
ezért olyan eset nem létezik, hogy det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) = 0.
Világos, hogy a második derivált tipikusan azoknál a függvényeknél jár sikerrel, melyeket egy másodfokú függvény közelít a legjobban (aszimptotikusan másodfokúak). Ha a függvény ennél magasabb fokú, akkor a második deriváltak eltűnnek és a Hesse-mártix elfajul (vagy legalább is tipikusan elfajul).
Ha tehát
- , akkor ,
és így a tipikus példák a következők.
Példák
1. Ha B kicsi, azaz az AC-hez képest kis abszolútrétékű szám, akkor a szélsőérték irányába mozdul el a feladat.
Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és 2 > 0 miatt minimum.
2. Ha |B| nagy (azaz AC-hez képest nagy), akkor a bizonyosan nemszélsőérték irányába.
Ekkor grad f = ( 2x + -3y , 2y + -3x ) és
azaz 4 - 9 = -5 < 0 miatt nincs szélsőérték: nyeregpont.
3. Negatív A és C-re és kis B-re:
Ekkor grad f = ( -2x + 3y , -2y + 3x ) és
azaz 4 - 1 = 3 > 0 és -2 < 0 miatt maximum.
4. Ha A és C előjele ellenkező, akkor rögtön következik, hogy nincs sz.é.
Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ) és
azaz -4 - 1 = -5 < 0 azaz nyeregpont.
5. Atipikus eset, ha AC = B2. Ekkor nem jár sikerrel a próba:
Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ) és
azaz 4 - 4 = 0, azaz határozatlan eset. De tudjuk, hogy
ami pontosan akkor minimális, ha x = -y, azaz ezeken a helyeken van szélsőérték.
6.
7.
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |