Adjungált
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Inverz mátrix képlet) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
===Aldetermináns-mátrix=== | ===Aldetermináns-mátrix=== | ||
− | Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az A<sup>min</sup> mátrix elemeit – a <math>\ | + | Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az A<sup>min</sup> mátrix elemeit – a <math>\clubsuit</math> helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az ''A'' elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot törtöljük (ezek a <math>\mbox{ }_{\Box}</math> helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek: |
:<math>A^{min}=\begin{bmatrix} | :<math>A^{min}=\begin{bmatrix} | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
− | \ | + | \clubsuit & \Box & \Box \\ |
\Box & -1 & 1 \\ | \Box & -1 & 1 \\ | ||
\Box & 0 & -3 \\ | \Box & 0 & -3 \\ | ||
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
− | \Box & \ | + | \Box & \clubsuit & \Box \\ |
2 & \Box & 1 \\ | 2 & \Box & 1 \\ | ||
-1 &\Box & -3 \\ | -1 &\Box & -3 \\ | ||
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
− | \Box & \Box& \ | + | \Box & \Box& \clubsuit \\ |
2 & -1& \Box \\ | 2 & -1& \Box \\ | ||
-1 &0&\Box \\ | -1 &0&\Box \\ | ||
43. sor: | 43. sor: | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
\Box & -2 & 1 \\ | \Box & -2 & 1 \\ | ||
− | \ | + | \clubsuit & \Box & \Box \\ |
\Box & 0 & -3 \\ | \Box & 0 & -3 \\ | ||
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
1 & \Box & 0 \\ | 1 & \Box & 0 \\ | ||
− | \Box & \ | + | \Box & \clubsuit & \Box \\ |
-1 &\Box & -3 \\ | -1 &\Box & -3 \\ | ||
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
1 & -2& \Box \\ | 1 & -2& \Box \\ | ||
− | \Box & \Box& \ | + | \Box & \Box& \clubsuit \\ |
-1 &0&\Box \\ | -1 &0&\Box \\ | ||
\end{vmatrix}\\\\ | \end{vmatrix}\\\\ | ||
59. sor: | 59. sor: | ||
\Box & -2 & \;\;0 \\ | \Box & -2 & \;\;0 \\ | ||
\Box & -1 & \;\;1 \\ | \Box & -1 & \;\;1 \\ | ||
− | \ | + | \clubsuit & \Box & \Box \\ |
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
\;\;1 & \Box & \;\;0 \\ | \;\;1 & \Box & \;\;0 \\ | ||
\;\;2 &\Box & \;\;1 \\ | \;\;2 &\Box & \;\;1 \\ | ||
− | \Box & \ | + | \Box & \clubsuit & \Box \\ |
\end{vmatrix}& | \end{vmatrix}& | ||
\begin{vmatrix} | \begin{vmatrix} | ||
1\;\; & -2& \Box \\ | 1\;\; & -2& \Box \\ | ||
2\;\; &-1&\Box \\ | 2\;\; &-1&\Box \\ | ||
− | \Box & \Box& \ | + | \Box & \Box& \clubsuit \\ |
\end{vmatrix}\\ | \end{vmatrix}\\ | ||
117. sor: | 117. sor: | ||
-1 & 2& 3 | -1 & 2& 3 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
− | |||
− | |||
==Adjungált-képlet== | ==Adjungált-képlet== |
A lap 2008. február 10., 21:34-kori változata
- Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex lineáris algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponáltat máshol kell keresni.
A lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.
Tartalomjegyzék |
Definíció
Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:
- felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az Amin mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
- az Amin mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (Amin)± mátrixot;
- majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((Amin)±)T
Így kapjuk az
- -val
jelölt adjungált mátrixot.
Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában keressük!
Példa
Legyen A a következő négyzetes mátrix:
Aldetermináns-mátrix
Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az Amin mátrix elemeit – a helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot törtöljük (ezek a helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:
Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:
Előjeles aldetermináns-mátrix
A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)
Tehát
Transzponált
A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, ... Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:
Így az adjungált:
Adjungált-képlet
A Caley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A)A-1 = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben:
- ,
a 3×3-as esetben pedig
- .