Adjungált

A MathWikiből

Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponáltat máshol kell keresni.

A lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.

Definíció

Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:

felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az A^min mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
az A^min mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)^i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (A^min)^± mátrixot;
majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((A^min)^±)^T

Így kapjuk az

$\mathrm{adj}(A)\,$ -val

jelölt adjungált mátrixot.

Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában keressük!

Példa

Legyen A a következő négyzetes mátrix:

$A:=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0\\ 2 & -1 & 1\\ -1 & 0 & -3 \end{bmatrix}$

Aldetermináns-mátrix

Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az A^min mátrix elemeit – a $\clubsuit$ helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot törtöljük (ezek a $\mbox{ }_{\Box}$ helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:

$A^{min}=\begin{bmatrix} \begin{vmatrix} \clubsuit & \Box & \Box \\ \Box & -1 & 1 \\ \Box & 0 & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \Box & \clubsuit & \Box \\ 2 & \Box & 1 \\ -1 &\Box & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \Box & \Box& \clubsuit \\ 2 & -1& \Box \\ -1 &0&\Box \\ \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} \Box & -2 & 1 \\ \clubsuit & \Box & \Box \\ \Box & 0 & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1 & \Box & 0 \\ \Box & \clubsuit & \Box \\ -1 &\Box & -3 \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1 & -2& \Box \\ \Box & \Box& \clubsuit \\ -1 &0&\Box \\ \end{vmatrix}\\\\ \begin{vmatrix} \Box & -2 & \;\;0 \\ \Box & -1 & \;\;1 \\ \clubsuit & \Box & \Box \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} \;\;1 & \Box & \;\;0 \\ \;\;2 &\Box & \;\;1 \\ \Box & \clubsuit & \Box \\ \end{vmatrix}& \begin{vmatrix} 1\;\; & -2& \Box \\ 2\;\; &-1&\Box \\ \Box & \Box& \clubsuit \\ \end{vmatrix}\\ \end{bmatrix}$

Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:

$A^{min}=\begin{bmatrix} 3 & -5 & -1\\ 6 & -3 & -2\\ -2 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

Előjeles aldetermináns-mátrix

A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)

$\begin{bmatrix} +&-&+&\dots&\pm\\ -&+&-& &\mp\\ +&-&+&\dots&\pm\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ \pm&\mp&\pm&\dots&+ \end{bmatrix}$

Tehát

$(A^{min})^{\pm}=\begin{bmatrix} 3 & 5 & -1\\ -6 & -3 & 2\\ -2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$

Transzponált

A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, ... Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:

$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}\;\;\longrightarrow\;\; \begin{bmatrix} a_{11}&a_{21}&a_{31}&\dots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}& &a_{n2}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}&\dots&a_{n3}\\ \vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&a_{3n}&\dots&a_{nn} \end{bmatrix}$

Így az adjungált:

$\mathrm{adj}A=((A^{min})^{\pm})^{T}=\begin{bmatrix} 3 & -6 &-2 \\ 5 & -3 & -1\\ -1 & 2& 3 \end{bmatrix}$

Adjungált-képlet

A Caley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A) $\cdot$ A^-1 = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben: