Inverz mátrix

A MathWikiből

Egy reguláris mátrix inverze olyan mátrix, mellyel őt jobbról balról beszorozva egységmátrixot kapunk.

Inverz mátrix képlet

Egy invertálható A mátrix esetén az A-1 inverz a következőképpen írható fel:

A^{-1}=\frac{\mathrm{adj}\,A}{\mathrm{det}\,A}

itt adj A az A adjungáltja, a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla.

Bizonyítás. Elég belátni, hogy

A \cdot adj(A) = det(A)\cdotI,

ahol I az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±Mji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:

\begin{matrix}
 &
\begin{bmatrix}
+M_{11}&-M_{21}&+M_{31}&\dots&\pm M_{n1}\\
-M_{12}&+M_{22}&-M_{32}& &\mp M_{n2}\\
+M_{13}&-M_{23}&+M_{33}&\dots&\pm M_{n3}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
\pm M_{1n}&\mp M_{2n}&\pm M_{3n}&\dots&+M_{nn}
\end{bmatrix}\\\\
\begin{bmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}& &a_{2n}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&\dots&a_{3n}\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\dots&a_{nn}
\end{bmatrix} 
& 
\begin{bmatrix}
\mathrm{det}\,A\; &0&0&\dots&0\\
0&\mathrm{det}\,A\;&0& &0\\
0&0&\mathrm{det}\,A\;&\dots&0\\
\vdots& &\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\dots&\mathrm{det}\,A\;
\end{bmatrix}
\end{matrix}

Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (ai1,ai2,ai3,...,ain) sorát az adjungált i-edik ((-1)i+1Mi1,(-1)i+2Mi2,(-1)i+3Mi3,...,(-1)i+nMin) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. QED■

Sablon:Csonk

Személyes eszközök