Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
14. sor: | 14. sor: | ||
:i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math> | :i) <math>f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[3]{x^4+y^8}}</math> | ||
:k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math> | :k) <math>f(x,y)=\frac{xy^4}{\sqrt{x^4+y^8}}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Parciális deriváltak== | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Legyen ''f'': '''R'''<sup>n</sup> <math>\supset\!\to</math> '''R''', ''u'' ∈ int Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az ''u'' pontban a ''x''<sub>i</sub> változó szerint, ha az | ||
+ | :<math>f(u_1,...,.,...,u_n): x_i\mapsto f(u_1,...x_i,...,u_n)\,</math> | ||
+ | egyváltozós valós függvény differenciálható az u<sub>i</sub> pontban. Ekkor a fenti függvény <math>u_i</math>-beli deriváltját | ||
+ | :<math>\partial_if(u),\quad f'_{x_i}(u),\quad f_{x_i}(u),\quad\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x=u}</math> | ||
+ | jelöli. | ||
+ | |||
+ | Példa: | ||
+ | :<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial x}=2x\cdot \sin(y)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial y}=x^2\cdot \cos(y)</math> | ||
+ | :<math>\frac{\partial x^2\cdot\sin(y)}{\partial z}=0</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\frac{\partial \sin(\mathrm{sh}(x)y^2)}{\partial x}=\cos(\mathrm{sh}(x)y^2)\cdot \mathrm{ch}(x)y^2</math> | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}</math> | ||
+ | a (0,0)-ban? | ||
+ | |||
+ | '''Feladat.''' Parciálisan deriválható-e az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 0,& \mbox{ ha }(x,y)=(0,0)\\ | ||
+ | (x^2+y)\sin\frac{1}{|x|+|y|},& \mbox{ ha }(x,y)\ne(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | a (0,0)-ban? | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ==Lineáris leképezések== | ||
+ | A ''V''<sub>1</sub> és ''V''<sub>2</sub> vektorterek között ható ''A'' leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ '''R''' és '''v''', '''u''' ∈ ''V''<sub>1</sub> | ||
+ | :<math>\mathcal{A}(\lambda.\mathbf{v}+\mu.\mathbf{u})=\lambda.\mathcal{A}\mathbf{v}+\mu.\mathcal{A}\mathbf{u}\,</math> | ||
+ | |||
+ | A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla: | ||
+ | |||
+ | :<math>\mathcal{A}\mathbf{0}_{V_1}=\mathbf{0}_{V_2}</math> | ||
+ | |||
+ | viszont más elem a ''V''<sub>2</sub> nem feltétlenül vétetik föl. | ||
+ | |||
+ | Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal. | ||
+ | |||
+ | :<math>[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix} | ||
+ | \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} | ||
+ | \end{bmatrix} </math> | ||
+ | ahol ''B'' = ('''b'''<sub>1</sub>,'''b'''<sub>2</sub>,…,'''b'''<sub>n</sub>) a ''V''<sub>1</sub> egy bázisa, ''C'' az ''V''<sub>2</sub> bázisa, a mátrix oszlopai pedig a ''B'' elemeinek <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' típusú, akkor csak <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}</math>-t szokás írni, ha pedig pusztán <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]}</math>-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a '''R'''<sup>n</sup> ''sztenderd bázis''áról van szó, azaz a | ||
+ | :<math>\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}</math> | ||
+ | vektorrendszerről. | ||
+ | ===Példák=== | ||
+ | '''1.''' Forgatás az origo körül φ szöggel: | ||
+ | :<math>[\mathcal{F}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Tükrözés a φ szőgű egyenesre. | ||
+ | :<math>[\mathcal{T}_\varphi]=\begin{bmatrix}\cos(2\varphi) & \sin(2\varphi) \\ \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{bmatrix} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga. | ||
+ | |||
+ | Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt. | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Deriváló operáció. Legyen ''V'' a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a | ||
+ | :<math>\mathcal{D}:f\mapsto f'\,</math> | ||
+ | lineáris leképezés: | ||
+ | |||
+ | Bázis ''V''-ben: {1, x, x<sup>2</sup>}, ezért a mátrixa: | ||
+ | :<math>[\mathcal{D}]= | ||
+ | \begin{bmatrix} | ||
+ | 0 & 1 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & 2\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix} </math> | ||
+ | Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes ''V'', hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé. | ||
+ | |||
+ | |||
<center> | <center> |
A lap 2017. február 19., 19:23-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Tartalomjegyzék |
További példák
1. Hol létezik határértéke az alábbi függvényeknek?
- a)
- b) (Használjuk az határértéket.)
- c)
- d)
- e)
- f)
- g)
- h)
- i)
- k)
Parciális deriváltak
Definíció. Legyen f: Rn R, u ∈ int Dom(f). Azt mondjuk, hogy f parciálisan differenciálható az u pontban a xi változó szerint, ha az
egyváltozós valós függvény differenciálható az ui pontban. Ekkor a fenti függvény ui-beli deriváltját
jelöli.
Példa:
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Feladat. Parciálisan deriválható-e az
a (0,0)-ban?
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |