Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→2.) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1.) |
||
7. sor: | 7. sor: | ||
::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ||
:::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math> | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math> | ||
− | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0), azaz a határértkék 0. | + | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0. |
::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így | ||
:::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math> | :::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math> |
A lap 2008. március 1., 19:38-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a gyakorlaton konkrét függvények folytonosságát és határértékét vizsgáljuk meg.
Tartalomjegyzék |
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
2.
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
3.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
4.
5.
6.
7.
8.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)