Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→A differenciálás tulajdonságai) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvények lineáris kombinációja) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
:<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math> | :<math>\varepsilon_{f+g}=\varepsilon_{f}+\varepsilon_{g}\,</math> | ||
választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait. | választással, ezek az ''u''-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait. | ||
+ | ===Függvénykompozíció differenciálja=== | ||
+ | '''Tétel. ''' Legyen ''g'': '''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup>, az ''u''-ban differenciálható, ''f'': '''R'''<sup>m</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>k</sup> a ''g''(''u'')-ban differenciálható függvény, ''u'' ∈ int Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g''). Ekkor az | ||
+ | :<math>f\circ g</math> differenciálható ''u''-ban és | ||
+ | :<math> \mathrm{d}(f\circ g)(u)=\mathrm{d}f(g(u))\circ\mathrm{d}g(u)</math> | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás. '' Alkalmas ε, ''A'' és η ''B'' párral, minden ''x'' ∈ Dom(''f'' <math>\circ</math> ''g'')-re: | ||
+ | :<math>f(g(x))=f(g(u))+\mathcal{A}(g(x)-g(u))+\varepsilon(g(x))||g(x)-g(u)||)</math> | ||
A lap 2008. március 15., 22:55-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
A differenciálás tulajdonságai
Lineáris és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Függvények lineáris kombinációja
Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |