Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Skalárral való szorzás) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
68. sor: | 68. sor: | ||
illetve a gradiens: | illetve a gradiens: | ||
:<math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | :<math>\mathrm{grad}\,|\mathbf{r}|^\alpha=\alpha|\mathbf{r}|^{\alpha-1}.\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}</math> | ||
+ | ==Teljes és parciális differenciálhatóság== | ||
+ | Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény differenciálható az ''u'' pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül: | ||
+ | :<math>[(df(u))e_j]_i=\partial_j f_i(u)\,</math> | ||
+ | ahol <math>e_j</math> a j-edik szetenderd bázisvektor, <math> [.]_i</math> pedig az i-edik komponenst jelenti sztenderd bázisban. | ||
+ | |||
+ | Ez az ellenkező irányban nem következik. Ez majdnem nyilvánvaló, de csak tekintsük az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{x^2+y^2}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot x*y/(x*x+y*y) | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | (0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak. | ||
+ | |||
+ | Egy másik, folytonos példa az | ||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& \mbox{, ha }&(x,y)\ne (0,0)\\ | ||
+ | 0&\mbox{, ha }&(x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.</math> | ||
+ | :<gnuplot> | ||
+ | set pm3d | ||
+ | set size 0.8,0.8 | ||
+ | set xrange [-1:1] | ||
+ | set yrange [-1:1] | ||
+ | set zrange [-2:2] | ||
+ | set view 50,30,1,1 | ||
+ | unset xtics | ||
+ | unset ytics | ||
+ | unset ztics | ||
+ | unset key | ||
+ | unset colorbox | ||
+ | splot x*y/(sqrt(x*x+y*y)) | ||
+ | </gnuplot> | ||
+ | Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve: | ||
+ | :<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r}=r\cos\varphi\sin\varphi=r\cdot \frac{1}{2}\sin 2\varphi</math> | ||
+ | φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a | ||
+ | :<math>t\mapsto\frac{1}{2}|t|</math>, | ||
+ | ami nem differenciálható a 0-ban. | ||
+ | |||
+ | Megfordításról a következő esetben beszélhetünk. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' Ha az ''f'':'''R'''<sup>n</sup> ⊃<math>\to</math> '''R'''<sup>m</sup> függvény minden parciális deriváltfüggvénye folytonos az ''u'' pont egy környezetében, akkor ''u''-ban ''f'' differenciálható. | ||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet vesszük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x=(<math>x_1</math>,<math>x_2</math>), v=(<math>u_1</math>,<math>x_2</math>), u=(<math>u_1</math>,<math>u_2</math>) | ||
+ | :<math>f(x)-f(u)=f(x)-f(v)+f(v)-f(u)= \partial_1 f(v)(x_1-u_1)+\varepsilon_v(x_1)|x_1-x_2|+\partial_2 f(u)(x_2-u_2)+\varepsilon_u(x_2)|x_2-u_2|=</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1 f(v)(x_1-u_1)-\partial_1 f(u)(x_1-u_1)+\partial_1 f(u)(x_1-u_1)+\varepsilon_v(x_1)|x_1-x_2|+\partial_2 f(u)(x_2-u_2)+\varepsilon_u(x_2)|x_2-u_2|=</math> | ||
+ | :<math>=\partial_1 f(v)(x_1-u_1)-\partial_1 f(u)(x_1-u_1)+\partial_1 f(u)(x_1-u_1)+\varepsilon_v(x_1)|x_1-x_2|+\partial_2 f(u)(x_2-u_2)+\varepsilon_u(x_2)|x_2-u_2|</math> | ||
+ | |||
+ | |||
===Szorzatok differenciálja=== | ===Szorzatok differenciálja=== | ||
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk. | Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk. |
A lap 2008. március 16., 23:01-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
A differenciálás tulajdonságai
Lineáris és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Példa.
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
Függvények lineáris kombinációja
Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Példa.
Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla r-re számítható ki:
illetve a gradiens:
Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, a skaláris szorzás.
illetve a gradiens:
Teljes és parciális differenciálhatóság
Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény differenciálható az u pontban, akkor ott minden parciális deriváltja létezik és teljesül:
ahol ej a j-edik szetenderd bázisvektor, [.]i pedig az i-edik komponenst jelenti sztenderd bázisban.
Ez az ellenkező irányban nem következik. Ez majdnem nyilvánvaló, de csak tekintsük az
set pm3d
(0,0)-ban a parciális függvények az azonosan 0 függvény, mely persze deriválható a 0-ban, de a függvény még csak nem is folytonos (0,0)-ban, mely szükséges feltétele a teljes differenciálhatóságnak.
Egy másik, folytonos példa az
set pm3d
Ekkor az iránymenti deriváltakat kell vizsgálnunk. Ha van differenciál a (0,0)-ban, akkor az csak az azonosan nulla leképezés lehet a parciális deriváltak miatt. Ám, polárkoordinátákra áttérve:
φ = π/4-et és π + π/4-et véve a vetületfüggvény a
- ,
ami nem differenciálható a 0-ban.
Megfordításról a következő esetben beszélhetünk.
Tétel. Ha az f:Rn ⊃ Rm függvény minden parciális deriváltfüggvénye folytonos az u pont egy környezetében, akkor u-ban f differenciálható.
Bizonyítás. Elegendő az m = 1 esetet vizsgálni. Továbbá a bizonyítás elve nem változik, ha csak az n = 2 esetet vesszük. Legyen x az u mondott környezetéből vett pont, és x=(x1,x2), v=(u1,x2), u=(u1,u2)
Szorzatok differenciálja
Most csak a sokféle szorzat deriváltjának értékét számítjuk ki. Minden esetben igazolható, hogy ha a formulákban szereplő összes derivált létezik, akkor a formula érvényes (sőt, ha a függvények az adott pontban differenciálhatók, akkor a szorzat is differenciálható az adott pontban). Az mátrixelemeket indexesen számítjuk.
Skalárfüggvények szorzata
λ, μ: H R, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és
azaz
Skalárfüggvénynel való szorzás
λ: H R, f:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λ.f is és
azaz
ahol a diadikus szorzat, melynek koordinátamátrixa egy oszlopvektor (balról) és egy sorvektor (jobbról) mátrixszorzatából adódik.
Vekrotfüggvények skaláris szorzata
f,g:H Rm, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor fg is és
azaz
illetve a Jacobi-mátrixszal:
ahol [.]T az oszlopvektor transzponáltját, pedig a v vektorral történő skaláris szorzás operátorát jelöli.
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |