Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Képtér, magtér) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lineáris leképezések folytonossága) |
||
134. sor: | 134. sor: | ||
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással. | Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással. | ||
− | ''Bizonyítás.'' Vegyük az ''A'' | + | Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel |
+ | |||
+ | :<math>|f(x)-f(0)|\leq L|x|<L\delta=L\frac{\varepsilon}{L+1}<\varepsilon.</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ''Bizonyítás.'' Vegyük az ''A'' sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor ''A''('''x''')='''A'''<math>\cdot</math>'''x'''. Így '''A''' minden '''A'''<sub>i</sub> sorára | ||
: <math>|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|</math> | : <math>|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|=|\sum\limits_{j=1}^{n}\mathbf{A}_{ij}x_j|\leq\sum\limits_{j=1}^{n}|\mathbf{A}_{ij}x_j| \leq L_i\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|</math> | ||
ahol <math>L_i</math> rögzített i mellett a {|'''A'''<sub>i,j</sub>|} <sub>j=1...n</sub> számok maximuma. Ha most vesszük L = max {<math>L_i</math>}-t is, akkor | ahol <math>L_i</math> rögzített i mellett a {|'''A'''<sub>i,j</sub>|} <sub>j=1...n</sub> számok maximuma. Ha most vesszük L = max {<math>L_i</math>}-t is, akkor | ||
: <math>||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}</math> | : <math>||\mathcal{A}\mathbf{x}||_\max=\max_{i=1...m}|\mathbf{A}_i\mathbf{x}|\leq L\sum\limits_{j=1}^{n}|x_j|=L\cdot ||\mathbf{x}||_{p=1}</math> | ||
− | is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz. | + | is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz. |
+ | |||
==Deriváltfogalmak '''R'''<sup>n</sup>-ben== | ==Deriváltfogalmak '''R'''<sup>n</sup>-ben== | ||
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk. | A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk. |
A lap 2009. március 5., 22:59-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Lineáris leképezések
A V1 és V2 vektorterek között ható A leképezést akkor nevezünk lineárisnak, ha teljesül minden λ, μ ∈ R és v, u ∈ V1
A definícióból rögtön következik, hogy a nulla vektor képe nulla:
viszont más elem a V2 nem feltétlenül vétetik föl.
Véges dimenziós terek közti lineáris leképezés a bázis választásával egyértelműen jellemezhető az alábbi mátrixszal.
ahol B = (b1,b2,…,bn) a V1 egy bázisa, C az V2 bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha V V típusú, akkor csak -t szokás írni, ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a Rn sztenderd bázisáról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
Példák
1. Forgatás az origo körül φ szöggel:
Világos, hogy ez invertálható leképezés és az inverze a -φ szögű forgatás.
2. Tükrözés a φ szőgű egyenesre.
Világos, hogy ez is invertálható és inverze saját maga.
Ezek ortogonális transzformációk, azaz a transzponáltjuk az inverzük. Speciálisan a tükrözés szimmetrikus leképezés, mert mátrixa szimmetrikus. Sőt, ezek alkotják a síkon az összes ortogonális transzformációt.
3. Deriváló operáció. Legyen V a legfeljebb másodfokú polinomfüggvények tere. Ekkor a
lineáris leképezés:
Bázis V-ben: {1, x, x2}, ezért a mátrixa:
Világos, hogy a leképezés képzere nem a teljes V, hanem annak egy altere (a legfeljebb elsőfokú polinomfüggvények tere) és nem csak a 0 polinom képe 0, hanem minden konstans polinomé.
Képtér, magtér
A magtere:
Ez tényleg altér, mert ha v, u ∈ Ker(A), akkor A v=A u = 0 és
A magtér az A injektivitásával van kapcsolatban. A injektív, ha
Azaz minden v - u alakú vektorra:
de minden vektor v - u alakú, ezért ez pontosan azt jelenti, hogy Ker(A)={0} a triviális altér.
A képtere:
Ez szintén altér, mert ha vesszük két képtérbeli elem lineáris kombinációját, akkor szintén valamilyen elem képe.
Ez a szűrjektivitással van kapcsolatban. A szűrjektív, ha
márpedig Im(A)=V2 pontosan azt jelenti, hogy az érkezési halmaz minden vektora előáll képként.
A két altér dimenziója között szoros kapcsolat van:
Dimenziótétel. Ha A : V1 V2 véges dimenziós terek között ható lineáris leképezés, akkor
Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy Ker(A) egy bázisának száma + Im(A) egy bázisának száma = V1 egy bázisának száma. Legyen dim V1 = n és dim Ker(A) = k. Rögzítsük Ker(A) egy
bázisát. Világos, hogy dim A(<B>) = {0}, ezért a képtér nemnulla pontjaiba csak úgy juthatunk, ha <B>-n kívüli elemet választunk -- válasszunk annyit, mely az egész V1-et generálja, egészítsük ki B-t a V1 egy bázisává a C halmaz hozzávételével:
Ezek speciális tulajdonsága, hogy
azaz közösen kifeszítik a V1-et és a kifeszített alterek közös része a {0}. Ugyanis, ha v ∈ <B>∩<C>, akkor
és
akkor ezeket kivonva:
Amiből a BUC függetlensége miatt következik:
- 0 = λ1 = λ2 = ... = λk = μ1 = μ2 = ... = μl
Ekkor a D={ Ac1, Ac2, ...,Acl } vektorrendszer bázisa lesz Im(A)-nak. Ugyanis
1. D kifeszíti Im(A)-t. Egy
elemmel:
2. D lineárisan független. Ha ugyanis
akkor
azaz
Főtengelytétel
Az Rn Rn leképezést szimmetrikusnak nevezünk, ha a szenderd bázisban szimmetrikus a mátrixa. Ekkor minden ortonormált bázisban is szimmetrikus lesz a mártixa. Ezek között a bázisok között az átváltó mátrix ortogonális, azaz
Értelmezhető leképezés transzponáltja is, mert ortnormált bázisok közötti átváltás invariáns a transzponálásra. Általában az átváltott mátrix:
alakú. Ortogonális transzformáció esetén pedig
Ekkor a szimmetria pont azt jelenti, hogy A=AT.
Főtengelytétel. Szimmetrikus leképezés sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható csupa valós sajátértékekkel.
Lineáris leképezések folytonossága
Megjegyzés. A normált terek között ható A lineáris leképezés folytonos, ha a 0-ban folytonos.
Ugyanis, legyen az A: N1 N2 lineáris leképezés és tegyük fel, hogy 0-ban folytonos, azaz minden ε>0-ra létezik δ>0, hogy minden x ∈ Bδ(0)-ra Ax ∈ Bε(0).
Most ha ε > 0 tetszőleges és x1 és x2 N1-beliek is tetszőlegesek, akkor
amennyiben x1-x2 ∈ Bδ(0), ahol δ a 0-beli folytonosság által az ε-hoz tartozó δ.
Tétel. A : Rn Rm lineáris leképzés folytonos, sőt:
Megjegyzés. Ez azt is jelenti, hogy egy ilyen leképezés Lipschitz-függvény. Az f: Rn ⊃ Rm függvényt Lipschitz-függvénynek nevezük, ha létezik L nemnegatív szám, hogy minden x1 és x2 Dom(f)-belire:
Világos, hogy ez lineáris leképezésre ekvivalens a tételbeli megfogalmazással.
Ha lipschitzes, akkor pedig folytonos, mert ekkor δ=ε/(L+1)-gyel
Bizonyítás. Vegyük az A sztenderd bázis beli mátrixát. Ekkor A(x)=Ax. Így A minden Ai sorára
ahol Li rögzített i mellett a {|Ai,j|} j=1...n számok maximuma. Ha most vesszük L = max {Li}-t is, akkor
is teljesül, azaz a kép maximumnormája felülbecsülhető L-szer a vektor norma-1 szerinti normájával. A normák ekvivalenciája miat pedig alkalmas L-re minden normára igaz.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Sebességvektor
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
-
set size 0.5,0.5
set parametric set urange [0:4*pi] unset colorbox unset key unset xtics unset ytics unset ztics
splot cos(u),sin(u),uegy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Parciális derivált
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
- , akkor
Gradiens
Ha adott az
vektorváltozós skalárfüggvény, akkor ezt általában szintfelületekkel ábrázolhatjuk. Egy (x0,y0,z0)elég kis környezetében a függvény -- ha a későbbi értelmeben differenciálható -- akkor jól közelíthető lineáris vektorváltozós skalárfüggvény, tehát valamely
függvény (x0,y0,z0) pontba való eltoltjával -- hiszen ennek az ábrázolása síkoksorokkal történik, amik a pont elég kis környzetében már a hibahatáron belül térnek el Φ-től. Ez akkor van, ha a leképezés csak elsőnél magasabbrendű tagokban különbözik a lineáristól, azaz létezik ε(r):Dom(Φ) R az r0 = (x0,y0,z0)-ban folytonos és ott 0 értéket felvevő függvény, hogy
Mindezek miatt értelmes a fenti n vektort mint a lokális viselkedés jellemzőjét, egyfajta diváltat tekinteni. n-et ekkor a Φ leképezés (x0,y0,z0) ponthoz tartozó gradiensének nevezzük és tömör definíciója a következő:
Példa
függvényt.
Ekkor a gradiensét a következőkből számítjuk ki:
ahonnan leolvasva:
mely utóbbi valóban folytonos r0-ban és értéke itt 0.
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |