Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Tartalomjegyzék |
Függvényhatárérték
Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) Bε(A)
Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- létezik ,
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de (f(an)) nem konvergens.
Például. Nyilvánvalóan nincs határértéke az
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az (xn,yn) = (1 / n,0) sorozat képsorozata: sin(n2), aminek nincs határtéke.
Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt R2 \to R2 függvényt értjük:
Ezzel a fenti f:
Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
2.
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
3.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
4.
5.
6.
7.
8.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
9.
Példák eyenletes konvergenciára
(fn) egyenletesen konvergál a H halmazon az f-hez, ha
A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden n-re van olyan , hogy
azaz létezik xn, hogy
1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
Megoldás. Rögzített x-re ez az
mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden x ∈ (-∞, -δ]-re:
De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (xn), hogy
- :
Alapműveletek folytonossága
Összeadás
R × R R; (x,y) x+y
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor
Szorzás
R × R R; (x,y) xy
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol
akkor
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |