Szerkesztő:Mozo/ A2 bizonyítások

Többváltozós B–W-tétel

Lásd még:Bolzano–Weierstrass-tétel

A többdimenziós (de nem végtelendimenziós) esetben a csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs R^N-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R²-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.

A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.

Bizonyítás

Legyen

$(a_n)=(a_n^{(1)}, a_n^{(2)}, ..., a_n^{(N)})\in (\mathbf{R}^N)^{\mathbf{Z}^+}$

egy N komponensű sorozat, mely korlátos R^N-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az

$(a_n^{(1)})$

sorozathoz létezik σ₁ indexsorozat úgy, hogy az

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1$

konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1$

sorozatnak is van

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ₁, σ₂, ..., σ_N indexsorozatok, hogy a

$(a_n^{(1)})\circ\sigma_1$

$(a_n^{(2)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2$

$\vdots$

$(a_n^{(N)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re

$(a_n^{(k)})\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az

$(a_n)\circ\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A

$\sigma_1\circ\sigma_2\circ...\circ\sigma_N$

tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (a_n)-ből.

Ellenpélda végtelen dimenzióra

A tétel végtelen dimenziós esetben nem igaz. Vegyük példul a korlátos valós függvények

$\mathrm{B}([-1,+1],\mathbf{R})\,$

terében a szuprémumnormát:

$||f||=_{\mathrm{def}}\sup\{|f(x)|\mid x\in [-1,+1]\}\,$

és a belőle definiálható távolságot. Ebben az esetben a páratlan gyökkitevőjű gyökfüggvények

$f_n=\sqrt[2n+1]{.\;}\quad\quad (f_n(x)=\sqrt[2n+1]{x})$

sorozata nem konvergens. Ez amiatt van, hogy az itteni konvergenciafogalom ugyanaz, mint a függvénysorozatok egyenletes konvergenciájának fogalma. Bár ez a függvénysorozat pontonként konvergál a szignumfüggvényhez, de a sorozat a szignumfüggvény minden környezetéből kilép. Emiatt még az is igaz, hogy egyetlen részsorozta sem lehet konvergens (azaz egyenletesen konvergens), holott a függvénysorozat maga korlátos (u.is. belefoglalható az azonosan 0 függvény 2 sugarú környezetébe).

Megjegyzés. A tétel azon iránya, mely a sorozatkompaktságot tételezi fel, igaz marad minden metrikus térben.