Matematika A2a 2008/5. gyakorlat
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Tartalomjegyzék |
Másodrendű parciális deriváltak
Ha f a H ⊆ R2 halmazon értelmezett R-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvény és a
gradiensfüggvény szintén differenciálható u-ban, akkor f-et u-ban kétszer differenciálhatónak nevezzük és az f függény u-beli másodrendű differenciálja:
Ennek Jacobi-mátrixa akkor is létezik, ha csak azt feltételezzük, hogy a parciális deriváltak léteznek az u egykörnyezetében, és ott differenciálhatóak. Ekkor a szóban forgó Jacobi-mátrix kvadratikus és
alakú, amit Hesse-féle mátrixnak nevezünk.
A vegyes másodrendű parciális deriváltakra vonatkozik a Young-tétel:
Tétel (Young) A vegyes másodrendű parciális deriváltak egyenlők.
A Young-tétel értelmében a Hesse-mátrix szimmetrikus illetve a d2f(u) szimmetrikus tenzor
Általában a deriváltmátrixok nem szimmetrikusak, ez egy különleges tulajdonsága a második differenciálnak. Sőt, általában az a kérdés, hogy mi a deriválttenzor szimmetrikus és antiszimmetrikus része.
Megjegyzés. Elvileg a
leképezésnek kellett volna a differenciálját venni az u pontban, és ezt tekinteni a differenciálnak. Ám ez nem Rm-be, hanem egy általánosabb normált térbe, a R2 R lináris leképezések terébe képez (az ún. kétváltozós lineáris funkcionálok terébe). Ebben a norma az operátornorma (az operátor minimális Lipschitz-konstansa), és a tér véges dimenziós. A differenciálhatóság pontosan ugyanúgy értelmezhető, mint a többváltozs esetben. Ekkor az f függvény u-beli másodrendű differenciálja az
lineáris leképezés, melyre teljesül a
A bázisvektorokon A a következőt veszi fel:
ennek a mátrixa a sztenderd bázisban
ami a kivonás és az osztást komponensenként elvégezve az parciális deriváltak első változó szerinti parciális deriváltjait adja:
Az 1 bázisvektoron felvett érték tehát az a lineáris operártor, melyet a fenti sorvektorral való szorzás határoz meg. A másik bázisvektoron szintén felríható ez a mátrix, így világos, hogy d(df(.))(u) jellemezhető a d2f(u) mátrixával, így azonosítható vele.
A differenciálás tulajdonságai
Lineáris és affin függvény deriváltja
Az A : Rn Rm lineáris leképezés differenciálható és differenciálja minden pontban saját maga.
Ugyanis, legyen u ∈ Rn. Ekkor
c konstans függény esetén az dc(u) 0 alkalmas differenciálnak, mert
így világos, hogy c + A alakú affin függvények is differenciálhatóak, és differenciáljuk minden pontban az az A lineáris leképezés, melynek eltolásából az affin származik. Ezt szintén behelyettesítéssel ellenőrizhetjük.
Tehát minden u ∈ Rn-re
Példa
Az A: x 2x1 + 3x2 - 4x3 lineáris leképezés differenciálja az u pontban az u-tól független
és Jacobi-mátrixa a konstans
mátrix.
Világos, hogy a
koordináta vagy projekciófüggvény lineáris, differenciálja minden u pontban saját maga és ennek mátrixa:
ahol az 1 az i-edik helyen áll. Másként
ahol
azaz a Kronecker-féle δ szimbólum.
Függvények lineáris kombinációja
Ha f és g a H ⊆ Rn halmazon értelmezett Rm-be képező, az u ∈ H-ban differenciálható függvények, akkor minden λ számra
- is differenciálható u-ban és és
- is differenciálható u-ban és
Ugyanis, a mondott differenciálokkal és a
választással, ezek az u-ban folytonosak lesznek és a lineáris résszekel együtt ezek előállítják a skalárszoros és összegfüggvények megváltozásait.
Függvénykompozíció differenciálja
Tétel. Legyen g: Rn ⊃ Rm, az u-ban differenciálható, f: Rm ⊃ Rk a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g). Ekkor az
- differenciálható u-ban és
Bizonyítás. Alkalmas ε, A és η B párral, minden x ∈ Dom(f g)-re:
Innen leolvasható a differenciál és a másodrendben eltűnő mennyiség vektortényezője, az
melyben az első tag a 0-hoz tart, mivel a lineáris leképezés a 0-ban folytonos, és η a 0-hoz tart az u-ban. A második tag nulla szor korlátos alakú, hiszen a lineáris leképezés Lipschitz-tuladonsága folytán B minden egységvektoron korlátos értéket vesz fel.
Ennek a tételnek a legegyszerűbb, de már vektorokat tartalmazó formáját írja át "fogyasztható" formába az alábbi
Következmény. Ha g: Rn ⊃ R, az u-ban differenciálható, f: R ⊃ R a g(u)-ban differenciálható függvény, u ∈ int Dom(f g), akkor
- differenciálható u-ban és
Ahol . a skalárral való szorzást jelöli.
1. Példa
Először a gradienst számítjuk ki. Mivel a gyökfüggvény nem differenciálható a 0-ban, ezért a differenciál csak nemnulla r-re számítható ki. 0-ban a függvény tényleg nem differenciálható, mert a parciális deriváltak nem léteznek.
és
- illetve
Ezért
Ha valakinek a differenciál leképezés kell, akkor pedig:
Ezek kompozíciója:
Szemléleti okokból lényeges, hogy itt . a skalárral való szorzás, a skaláris szorzás.
2. Példa
illetve a gradiens:
Folytonosság mint szükséges feltétel
Ha f differenciálható u-ban, akkor ott folytonos is, ugyanis minden x-re:
amely tagjai mind folytonosak u-ban.
Skalárfüggvények szorzata
λ, μ: H R, ahol H ⊆ Rn és az u ∈ H-ban mindketten differenciálhatók, akkor λμ is és
azaz
Példa
Számoljuk ki r2 deriváltját a szorzat szabálya szerint.
Egyrészt, ha r ≠ 0, akkor
Másrészt, ha r = 0, akkor
minden r-re fennáll, így grad(id2)(0) = 0 alkalmas az ε(r)=|r|-rel, tehát r2 differenciálható 0-ban is.
4. gyakorlat | 6. gyakorlat |