Adjungált
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Definíció) |
||
5. sor: | 5. sor: | ||
==Definíció== | ==Definíció== | ||
− | Egy ''A'' kvadratikus (négyzetes, azaz ''n''×''n''-es) [[ | + | Egy ''A'' kvadratikus (négyzetes, azaz ''n''×''n''-es) [[mátrix]] adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük: |
# felírjuk az ''A'' mátrix ''aldeterminánsmátrix''át vagy ''minormátrix''át, vagyis azt az ''A''<sup>min</sup> mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik; | # felírjuk az ''A'' mátrix ''aldeterminánsmátrix''át vagy ''minormátrix''át, vagyis azt az ''A''<sup>min</sup> mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik; | ||
# az ''A''<sup>min</sup> mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)<sup>i+j</sup> értéket adjuk, ekkor nyerjük az ''előjeles aldeterminánsmátrix''ot, azaz a (A<sup>min</sup>)<sup>±</sup> mátrixot; | # az ''A''<sup>min</sup> mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)<sup>i+j</sup> értéket adjuk, ekkor nyerjük az ''előjeles aldeterminánsmátrix''ot, azaz a (A<sup>min</sup>)<sup>±</sup> mátrixot; | ||
13. sor: | 13. sor: | ||
jelölt '''adjungált mátrix'''ot. | jelölt '''adjungált mátrix'''ot. | ||
− | Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel | + | Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában keressük! |
==Példa== | ==Példa== |
A lap 2008. február 10., 21:28-kori változata
- Ez a szócikk a mátrixok inverzének kiszámításánál szereplő adjungált mennyiségről szól, vagyis a „klasszikus adjungáltról”. A komplex lineáris algebra adjungáltfogalma, vagyis a konjugált transzponáltat máshol kell keresni.
A lineáris algebrában egy négyzetes mátrix adjungáltjának nevezzük a mátrix előjeles aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltját. Az adjungálás tehát a négyzetes mátrixokon értelmezett operáció, mely mátrixhoz mátrixot rendel. Legfontosabb alkalmazása, hogy segítségével tömör formában fejezhető ki egy invertálható mátrix inverze.
Tartalomjegyzék |
Definíció
Egy A kvadratikus (négyzetes, azaz n×n-es) mátrix adjungáltján a következő eljárással elkészített mátrixot értjük:
- felírjuk az A mátrix aldeterminánsmátrixát vagy minormátrixát, vagyis azt az Amin mátrixot, melynek i,j-edik eleme annak a mátrixnak a determinánsa, melyet az A i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével keletkezik;
- az Amin mátrix elemeinek előjelét a „sakktáblaszabály” szerint megváltoztatjuk, azaz az i,j-edik elemnek a (−1)i+j értéket adjuk, ekkor nyerjük az előjeles aldeterminánsmátrixot, azaz a (Amin)± mátrixot;
- majd ezt a mátrixot transzponáljuk, azaz elemeit a főátlóra tükrözzük: ((Amin)±)T
Így kapjuk az
- -val
jelölt adjungált mátrixot.
Az adjungált mátrix definíciójának értelmét az inverz mátrix kiszámítására vonatkozó tétel bizonyításában keressük!
Példa
Legyen A a következő négyzetes mátrix:
Aldetermináns-mátrix
Készítsük el az aldeterminánsmátrixot, azaz a minormátrixot! Az Amin mátrix elemeit – a helyen álló elemet – tehát úgy kapjuk az A elemeiből, hogy az i-edik sort és j-edik oszlopot törtöljük (ezek a helyek) és a maradék mátrix determinánsát számítjuk ki. Az aldetermináns mátrix elemei a következő determinánsok lesznek:
Tehát a 2×2-es determinánsok kiszámítása után:
Előjeles aldetermináns-mátrix
A „sakktáblaszabály” alapján a következő formális mátrix mutatja, hogy hol kell megváltoztatni az előjelet (–) és hol nem (+)
Tehát
Transzponált
A transzponálás, a mátrix elemeinek a főátlóra történő tükrözése – az első sorból lesz az első oszlop, a második sorból a második oszlop, ... Tetszőleges kvadratikus mátrixnál tehát ez az operáció:
Így az adjungált:
Inverz mátrix képlet
Egy invertálható A mátrix esetén az A-1 inverz a következőképpen írható fel:
ahol a det A számmal való osztás az A invertálhatósága miatt elvégezhető, hiszen ekkor ez nem nulla.
Bizonyítás. Elég belátni, hogy
- A adj(A) = det(A)I,
ahol I az egységmátrix. Ha az előjeles aldetermináns-mátrix értékeit ±Mji-vel jelöljük (a minormátrix megfelelő előjellel ellátott transzponáltja), akkor a mátrixszorzat szokásos táblázatos ábrázolásában a következő egyenlőséget kell igazolnunk:
Az adjungált pont úgy lett megszerkesztve, hogy pontosan illeszkedjék a determinánsok kifejtési tételéhez (illetve a ferde kifejtési tételhez). Ha az A i-edik (ai1,ai2,ai3,...,ain) sorát az adjungált i-edik ((-1)i+1Mi1,(-1)i+2Mi2,(-1)i+3Mi3,...,(-1)i+nMin) oszlopával szorzunk, akkor pont azokat az elemeket kell egymással összeszorozni, amely szorzatoknak az összege a kifejetési tételben a determinánst adja. Ezért a szorzat i,i-edik eleme, azaz tetszőleges főátlóbeli elem maga az A determinánsa lesz. A ferde kifejtési tétel szerint a determinánst úgy fejtve ki, hogy egy sort a nem hozzá tartozó „aldetermináns-oszloppal” szorzunk be, mindig 0-t kapunk, azaz a főátlón kívül csupa 0 lesz. ■
Adjungált-képlet
A Caley–Hamilton-tétel következményeként egy mátrix gyöke saját karakterisztikus polinomjának. Ezekben a polinomokban a konstans tag mindig a mátrix determinánsa, így (invertálható esetben) az inverzmátrixal történő beszorzás után, ebből a konstans tagból a det(A)A-1 = adj(A) mátrixot kapjuk. A karakterisztikus egyenlet változójának helyére az A mátrixot helyettesítve és az inverzel beszorozva tehát kifejezhető az adjungált. Sőt, ez az így nyert formula szinguláris mátrix esetén is fennáll. Ez a formula a 2×2-es esetben:
- ,
a 3×3-as esetben pedig
- .