Bolzano–Weierstrass-tétel
Bolzano–Weierstrass-tételnek több, de egymáshoz szorsan kapcsolódó tételt neveznek az analízisben. Egyfelől az RN-beli sorozatok elméletében rámutathatunk, hogy minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata, ezt néha Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételnek nevezik. Másrészt zárt és korlátos RN-beli halmazban haladó sorozatnak van a halmazbeli határértékkel rendelkező részsorozata. Harmadrészt RN-beli végtelen, korlátos sorozatnak van torlódási pontja.
Tartalomjegyzék |
Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel
RN-ben korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Az egyváltozós eset
R-ben ehhez a tételhez még a következő kommentárt fűzhetjük. Egy valós számsorozatnak, ha nem korlátos, biztosan van sűrűsögési pontja, azaz olyan pont, melynek minden kipontozott környezetében végtelen sok elem van. Ez amiatt van, hogy az egydimeniós esetben értelmezhető az, hogy a +∞ és –∞ értékek sűrűsödési helyek legyenek, éspedig a +∞ gömbi környezetei az
alakú intervallumok, ahol r pozitív szám (melyet a környezet sugarának nevezünk). Világos, hogy nem-korlátos sorozatra a két végtelen érték valamelyike sűrűsödési hely lesz.
Ennél érdekesebb kérdés, hogy van-e sűrűsödési pontja egy korlátos sorozatnak. Erre majdnem triviális indoklást a lenti Borel–Lebesgue-tétel szerinti bizonyítás ad. Jobban rávilágít azonban az indokra a csúcselemes vagy a felső és alső határértékeket felhasználó igazolási mód.
Bizonyítás csúcselemmel
Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.
Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. ak-t csúcselemnek nevezzük, ha minden esetén . (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)
Ekkor két eset lehetséges:
- Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha indexek, melyekre csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
- Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n0, hogy minden n > n0 esetén an nem csúcselem.
- De nem csúcselem, vagyis létezik n1 > n0, hogy .
- De nem csúcselem, vagyis létezik n2 > n1, hogy stb.
Ekkor viszont nyilván szigorúan monoton növő sorozat.
Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.
Bizonyítás Borel–Lebesgue-tétellel
Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re:
ahol (δn) egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.
Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy an-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x ∈ [a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.
Többváltozós eset
Itt a csúcselemes bizonyítás nem működik abban az értelmeben, hogy közvetlenül nem hivatkozhatunk rájuk, mert nincs RN-ben a műveletekkel kompatibilis rendezés. Gondolhatnók arra is, hogy komponensenként használjuk az egydimenziós B–W-tételt. Ezzel a következő a probléma. Világos, hogy létezik minden projekciósorozatra egy-egy részsorozat, mely konvergens. Ám ebből egyáltalán nem következtethetünk arra, hogy ezek metszetéből kiválasztható részsorozat. Ellenpéldaként vegyünk egy R2-ben haladó sorozatot. Tegyük fel, hogy (szerencsétlen módon) az egydimenziós B–W-tétel az első komponensek sorozatából a páros indexűeket, a második komponensek közül a páratéan indexűeket választja ki. Ekkor a kétdimenziós sorozatnak nincs olyan részsosozata, mely a komponensorozatok közös indexeikből válaszható ki, tekintve, hogy a közös indexen halmaza üres.
A fentiek miatt olyan módon kell konvergens részsorozatokat kiválasztanunk, mely bizonyosan végtelen sok közös indexel rendelkeznek. A konstrukció a következő.
Bizonyítás
Legyen
egy N komponensű sorozat, mely korlátos RN-ben. Ekkor a komponenssorozatok is korlátosak. Az egydimenziós B–W-tétel szerint az
sorozathoz létezik σ1 indexsorozat úgy, hogy az
konvergens részsorozat. Hasonlóképpen, de a
sorozatnak is van
konvergens részsorozata. Megállapíthatjuk, hogy a
sorozat szintén konvergens, mert konvergens sorozat részsorozata. Ugyanígy léteznek σ1, σ2, ..., σN indexsorozatok, hogy a
sorozatok mind konvergensek és így tetszőleges k=1...N-re
is az, ami pontosan azt jelenti, hogy az
sorozat komponensenként konvergens, azaz konvergens. A
tehát olyan indexsorozat, mely konvergens részsorozatot választ ki (an)-ből.