Borel–Lebesgue-tétel

A Borel–Lebesgue lefedési tétel vagy Heine–Borel-tétel a matematikai analízis egy a zárt, korlátos intervallumok lényeges tulajdonságára rámutató tétel. Általánosítása érvényes Rⁿ-ben is, továbbá a topologikus terek elméletében a kompakt halmaz fogalmának motivációjául szolgál.

A tétel

Tétel – (Dirichlet 1862, Heine 1872) – Ha K ⊆ R korlátos és zárt halmaz és K-nak $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ nyílt lefedése, akkor ebből kiválasztható véges sok elem, mely még mindig lefedi K-t.

(A K nyílt lefedésén olyan nyílt halmazokból álló $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ halmazrendszert értünk, amire teljesül, hogy K részhalmaza $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in I}}$ uniójának.)

Bizonyítás

Cantor-tétellel

A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy F_γ ⊆ F_α∩F_β (azaz lefelé irányított), akkor az $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:

$F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

Ekkor a $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy F_γ ⊆ F_α∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy F_α ≠ ∅, ugyanis ekkor

$K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i$

teljesülne.

Ha $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset$

ami ellentmondás, hiszen $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$ definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy

$\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset$

Tehát van $\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}$-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a $\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}$ a kívánt tulajdonságú lefedés lesz. ■

Bolzano–Weierstrass-tétellel

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω_i)_i=1^∞. Definiálunk egy K-ban haladó (x_n) sorozatot. Ha Ω₁ lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω₁ nem fedi le K-t, legyen x₁ ∈ K \ Ω₁. Ha Ω₁ ∪ Ω₂ már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x₂ ∈ K \ (Ω₁ ∪ Ω₂). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ω_i)_i=1ⁿ már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (x_n) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ω_i)_i=1^∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ω_m nyílt halmaz. u-nak van Ω_m-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (x_n)-beli tag. (x_n) konstrukciója szerint minden n-re (Ω_i)_i=1ⁿ-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω_m-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω_i)_i=1^∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).

A tétel megfordítása

A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A K ⊆ R halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:

Tétel – R-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.

Bizonyítás. Legyen K kompakt halmaz.

Először a korlátosságot látjuk be. Legyen u tetszőleges R-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(u,n))_n∈N rendszer lefedi K-t. Ebből kiválaszható véges részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi K-t, így K átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot K komplementeréből (x ∉ K). A

$\mbox{ }_{\left(\,B\left(y,\frac{d(y,x)}{2}\right)\,\right)_{y\in K}}$

rendszer lefedi K-t így létezik n darab y₁, ..., y_n K-beli elem, hogy

$\mbox{ }_{K\subseteq\bigcup\limits_{i=1,...,n}\,B\left(y_i,\frac{d(y_i,x)}{2}\right)}$

Ha r a legkisebb sugár mindközül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így K-ba sem. Tehát K komplementere nyílt, K pedig zárt.

Külső hivatkozások

• A PlanetMath Heine-Borel theorem szócikke
• Animáció