Bolzano–Weierstrass-tételkör
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorozatkompaktság és B–W-tétel) |
||
| (egy szerkesztő 15 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
| − | A ''' | + | A '''Bolzano–Weierstrass-tételkör''' és a hozzá kapcsolódó állítások '''R'''<sup>n</sup> jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak. |
| − | ==Sorozatkompaktság és | + | ==Sorozatkompaktság és B–W-tétel== |
| − | Egy ''K'' | + | A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő. |
| + | |||
| + | Egy ''K'' részhalmaz '''sorozatkompakt''' '''R'''<sup>N</sup>-ben | ||
| + | (vagy még általánosabban egy ''M'' metrikus térben), ha minden a ''K''-ban haladó sorozatból kiválasztható ''K''-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben: | ||
:''K'' sorozatkompakt | :''K'' sorozatkompakt | ||
:<math>\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}</math> | :<math>\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}</math> | ||
:<math>\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K </math> | :<math>\forall(a_n)\in K^{\mathbf{Z}^+}\;\;\exists(n_k)\in (\mathbf{Z}^+)^{\mathbf{Z}^+}\quad (n_k)\mbox{ indexsorozat} \;\;\wedge\;\; \exists\lim(a_{n_k})\in K </math> | ||
| − | + | A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel '''R'''<sup>N</sup>-ben: | |
| + | |||
| + | '''<big>B</big>OLZANO–<big>W</big>EIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL.''' Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. | ||
| − | + | Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | == Kompakt halmazok és H–B-tétel== | ||
| + | A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk. | ||
'''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t. | '''Kompakt''' egy ''K'' halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi ''K''-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi ''K''-t. | ||
| − | ''' | + | '''<big>H</big>EINE–<big>B</big>OREL-TÉTEL.''' '''R'''<sup>N</sup>-ben korlátos és zárt halmaz kompakt. |
| + | |||
| + | ===Cantor-tétellel=== | ||
| + | A [[Cantor-axióma|Cantor-féle közösrész tétel]] egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> '''R'''-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden ''α'', ''β'' ∈ ''A'' indexre létezik olyan ''γ'' ∈ ''A'' index, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F</sub>''β''</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer metszete nem üres. | ||
| + | |||
| + | Jelölje ''A'' az <math>I</math> véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges ''α'' ∈ ''A''-ra: | ||
| + | :<math>F_{\alpha}:=K\setminus \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math> | ||
| + | Ekkor a <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt '''R'''-ben és tetszőleges ''α'', ''β'' ∈ ''A''-ra a ''γ'' := ''α'' U ''β'' elem olyan, hogy F<sub>''γ''</sub> ⊆ F<sub>''α''</sub>∩F</sub>''β''</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan ''α''∈''A'', hogy F<sub>''α''</sub> ≠ ∅, ugyanis ekkor | ||
| + | :<math>K\subseteq \bigcup\limits_{i\in\alpha}\Omega_i</math> | ||
| + | teljesülne. | ||
| + | |||
| + | Ha <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy | ||
| + | :<math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}\ne\emptyset</math> | ||
| + | ami ellentmondás, hiszen <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math> definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy | ||
| + | : <math>\bigcap\limits_{\alpha\in A}F_{\alpha}=K\setminus\bigcup\limits_{\alpha\in A}\left(\bigcup\limits_{i\in \alpha}\Omega_i\right)=K\setminus\bigcup\limits_{i\in I}\Omega_i=\emptyset</math> | ||
| + | |||
| + | Tehát van <math>\mbox{ }_{(F_\alpha)_{\alpha\in A}}</math>-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező ''α''∈''A''-val a <math>\mbox{ }_{(\Omega_i)_{i\in \alpha}}</math> a kívánt tulajdonságú lefedés lesz. | ||
| + | |||
| + | ===Bolzano–Weierstrass-tétellel=== | ||
| + | Mivel '''R''' teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a ''K'' korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup>. Definiálunk egy ''K''-ban haladó (''x''<sub>n</sub>) sorozatot. Ha Ω<sub>1</sub> lefedi ''K''-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω<sub>1</sub> nem fedi le ''K''-t, legyen ''x''<sub>1</sub> ∈ ''K'' \ Ω<sub>1</sub>. Ha Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub> már lefedi ''K''-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen ''x''<sub>2</sub> ∈ ''K'' \ (Ω<sub>1</sub> ∪ Ω<sub>2</sub>). Így folytatva biztos lesz olyan ''n'', hogy (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup> már lefedi ''K''-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (''x''<sub>n</sub>) egy végtelen, ''K''-ban haladó sorozat lenne, aminek a [[Bolzano–Weierstrass-tétel]] szerint lenne ''u'' ∈ ''K'' sűrűsödési pontja. Mivel (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> lefedi ''K''-t ezért ''u''-t is tartalmazza egy Ω<sub>m</sub> nyílt halmaz. ''u''-nak van Ω<sub>m</sub>-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (''x''<sub>n</sub>)-beli tag. (''x''<sub>n</sub>) konstrukciója szerint minden ''n''-re (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>n</sup>-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω<sub>m</sub>-ben is végtelen sok tag van. | ||
| + | |||
| + | Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω<sub>i</sub>)<sub>i=1</sub><sup>∞</sup> sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon). | ||
| + | |||
| + | === Kapcsolatok=== | ||
'''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. | '''R'''<sup>n</sup>-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság. | ||
A lap jelenlegi, 2008. május 22., 10:57-kori változata
A Bolzano–Weierstrass-tételkör és a hozzá kapcsolódó állítások Rn jellegzetes topologiai tulajdonságaira mutatnak rá. Lényegében a korlátos és zárt halmazok kompaktságáról szólnak.
Tartalomjegyzék |
Sorozatkompaktság és B–W-tétel
A Bolzano–Weierstrass-tétel az úgy nevezett sorozatkompaktság fogalmával kapcsolatban kulcsfontosságú tényre mutat rá. Az említett fogalom a következő.
Egy K részhalmaz sorozatkompakt RN-ben (vagy még általánosabban egy M metrikus térben), ha minden a K-ban haladó sorozatból kiválasztható K-beli határértékű konvergens részsorozat. Jelekben:
- K sorozatkompakt
A konvergens részsorozatra vonatkozó tétel RN-ben:
BOLZANO–WEIERSTRASS-FÉLE KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.
Bizonyítását külön nézzük az egy és a többváltozós esetre.
Kompakt halmazok és H–B-tétel
A metrikus terek analízisének egyik jelentő eredménye, hogy a sorozatkompaktság és a topologikus kompaktság fogalma egybeeseik. Alább a topologikus kompaktságal és az őzt motiváló tétellel, a Heine–Borel-tétellel (vagy más elnevezéssel Borel–Lebesgue-tétellel) foglalkozunk.
Kompakt egy K halmaz, ha minden nyílt halmazrendszerből, melynek uniója lefedi K-t kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, melyek véges uniója még mindig lefedi K-t.
HEINE–BOREL-TÉTEL. RN-ben korlátos és zárt halmaz kompakt.
Cantor-tétellel
A Cantor-féle közösrész tétel egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Eszerint, ha 
R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub> (azaz lefelé irányított), akkor az halmazrendszer metszete nem üres.
Jelölje A az I véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:
Ekkor a halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy Fγ ⊆ Fα∩F</sub>β</sub>. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy Fα ≠ ∅, ugyanis ekkor
teljesülne.
Ha minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy
ami ellentmondás, hiszen definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de-Morgan-szabályból következik, hogy
Tehát van -nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a 
a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.
Bolzano–Weierstrass-tétellel
Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritéruimot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ωi)i=1∞. Definiálunk egy K-ban haladó (xn) sorozatot. Ha Ω1 lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω1 nem fedi le K-t, legyen x1 ∈ K \ Ω1. Ha Ω1 ∪ Ω2 már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x2 ∈ K \ (Ω1 ∪ Ω2). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ωi)i=1n már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (xn) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ωi)i=1∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ωm nyílt halmaz. u-nak van Ωm-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (xn)-beli tag. (xn) konstrukciója szerint minden n-re (Ωi)i=1n-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ωm-ben is végtelen sok tag van.
Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ωi)i=1∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogaható módon).
Kapcsolatok
Rn-ben tehát a kompaktság ugyanaz, mint a sorozatkompaktság.
Rn véges dimenziószáma nagyon lényegesen hozzájárul a fenti tételek fennállásához. Általában (Haussdorf-térben) kompakt halmaz korlátos és zárt. Ám, van olyan végtelen dimenziós normált tér, melyben zárt és korlátos halmaz nem kompakt. Legyen ugyanis 
a korlátos sorozatok tere. A téren a norma a suprémum:
Ekkor a
"gömb" nem kompakt.
Hasonló furcsaságokat jelentkeznek a p-edik hatványon szummálható sorozatok 
terében is. Számunkra esetleg a véges sorösszeggel rendelkező 
tér bír jelentőséggel.
