Matematika A2a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

A lap 2009. május 1., 16:32-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon

1.

$T=[0,1]\times[0,1]$

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{2xy}{x^2+y^2}, & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ 0, & \mathrm{ha}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$

$\int\limits_T f=?$

A függvény csak egy pontban szakad és korlátos, így integrálható.

$\int\limits_{x=0}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*$

$F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{2xy}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y=\left[x\mathrm{ln}(x^2+y^2)\right]_{y=0}^1=x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)$

F a [0,1]-en nincs értelmezve, mert 0-ban szakadása van, de

$F(x)\sim_0 x\mathrm{ln}\,(x^2)=2x\mathrm{ln}\,x>2\mathrm{ln}\,x\,$

ami imprópriusan integrálható:

$\int x\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2+1)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(x^2+1)(\mathrm{ln}\,(x^2+1)-1)\,$

$\int x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int (2x)\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2(\mathrm{ln}\,(x^2)-1)\,$

$*=\int\limits_{x=0}^{1}x\mathrm{ln}(x^2+1)-x\mathrm{ln}(x^2)\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,(2)-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-0=\mathrm{ln}\,(2)-1$

Hiszen tudjuk:

$\int \mathrm{ln}\,x\,\mathrm{d}x=x\,\mathrm{ln}\,(x)-x=x(\mathrm{ln}\,(x)-1)$

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{2}x\mathrm{ln}(x^2)=\frac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x^2}\cdot 2x}{\frac{-1}{x^2}}=0$

2.

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}, & \mathrm{ha} & x+y^2 > 0\\ 0, & \mathrm{ha}& x+y^2\leq 0\end{matrix}\right.$

$T=[0,1]\times [0,1]$

$\int\limits_T f=?$

Az

$y=\pm\sqrt{-x}$

pontokban a függvénynek szakadása, ahol x nulla vagy negatív, ráadásul nem is korlátos, így nem inregrálható. Ellenben a [δ,1]×[0,1] téglalapon létezik integrája minden δ > 0 esetben és az egységkockán improprius integrálható, mert

$0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,$

ami utóbbi impróprius integrálható.

$\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*$

$F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}y=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})$

$*=\int\limits_{y=0}^{1}\,\mathrm{d}y= ==Integrálás normáltartományon== '''1.''' :<math> T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1\quad\wedge\quad0\leq y\leq\sqrt{x}\}$

$f(x,y)=y\sqrt{1+x^2}$

$\int\limits_T f=?$

9. gyakorlat	11. gyakorlat

@@ 23. sor: / 23. sor: @@
 '''2.'''
-:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^4}}, & \mathrm{ha} & x^2+y^4 \ne 0\\
+:<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}, & \mathrm{ha} & x+y^2 > 0\\
-, & \mathrm{ha}& x^2+y^4=0\end{matrix}\right.</math>
+, & \mathrm{ha}& x+y^2\leq 0\end{matrix}\right.</math>
-:<math> T=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq 1 \quad\wedge\quad-\sqrt{x}\leq y\leq\sqrt{x}\}</math>
+:<math> T=[0,1]\times [0,1]</math>
 :<math>\int\limits_T f=?</math>
 Az
-:<math>y=\pm\sqrt{|x|}</math>
+:<math>y=\pm\sqrt{-x}</math>
-pontokban a függvénynek szakadása van és nem is korlátos.
+pontokban a függvénynek szakadása, ahol ''x'' nulla vagy negatív, ráadásul nem is korlátos, így nem inregrálható. Ellenben a [&delta;,1]&times;[0,1] téglalapon létezik integrája minden &delta; > 0 esetben és az egységkockán improprius integrálható, mert
+:<math>0\leq f(x,y)\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\,</math>
+ami utóbbi impróprius integrálható.
+:<math>\int\limits_{x=\delta}^{1}\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=*</math>
+::<math>F(x)=\int\limits_{y=0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x+y^2}}\,\mathrm{d}y=[2\sqrt{x+y^2}]_{x=0}^1=2(\sqrt{y^2+1}-\sqrt{y^2})</math>
+:<math>*=\int\limits_{y=0}^{1}\,\mathrm{d}y=
 ==Integrálás normáltartományon==

Matematika A2a 2008/10. gyakorlat

A lap 2009. május 1., 16:32-kori változata

Szakadásos függvény integrálja téglalaptartományon

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök