Matematika A2a 2008/11. gyakorlat

A MathWikiből
Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Totális és folytonos parciális deriválhatóság

Deriválható-e az

f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2} & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ \\
0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0)
\end{matrix}\right.

függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott?

\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0
\partial_yf(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0-y^3}{y(0+y^2)}=-1

A deriválhatóság:

\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2}-0- 0\cdot x +y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4-y^3+y(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=

=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4+yx^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\not\to 0

ugyanis

\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}

Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az m vektor, melyet az Ax=m\cdotx definiál, de nincs alkalmas A, így nincs alkalmas m).

Kettősintegrál

T: a (0,0), (0,1), (1,0) csúcspontú háromszög.

f(x,y)=x^2y^6\,


\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x} x^2y^6\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{7}[x^2y^7]_{y=0}^{1-x}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{7}x^2(1-x)^7\,\mathrm{d}x=?
\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} x^2y^6\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^1\frac{1}{3}[x^3y^6]_{x=0}^{1-y}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{3}y^6(1-y)^3\,\mathrm{d}y=

=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{3}(y^6-3y^7+3y^{8}-y^{9} \,\mathrm{d}y=...
10. gyakorlat 12. gyakorlat
Személyes eszközök