Matematika A2a 2008/11. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Kettősintegrál) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Matematika A2a 2008]] alszócikke.'' | ||
+ | ==Totális és folytonos parciális deriválhatóság== | ||
+ | Deriválható-e az | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2} & \mathrm{ha} & (x,y)\ne (0,0)\\ \\ | ||
+ | 0, & \mathrm{ha} & (x,y)=(0,0) | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott? | ||
+ | |||
+ | :<math>\partial_xf(0,0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^4-0}{x(x^2+0)}=0</math> | ||
+ | :<math>\partial_yf(0,0)=\lim\limits_{y\to 0}\frac{0-y^3}{y(0+y^2)}=-1</math> | ||
+ | |||
+ | A deriválhatóság: | ||
+ | :<math>\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\frac{x^4-y^3}{x^2+y^2}-0- 0\cdot x +y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4-y^3+y(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | =\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^4+yx^2}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}\not\to 0</math> | ||
+ | ugyanis | ||
+ | :<math>\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{(x^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{x^4+x^3}{2^{\frac{3}{2}}x^3}=\lim\limits_{(x,x)\to (0,0)}\frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}(x+1)\to \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}}</math> | ||
+ | Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az ''m'' vektor, melyet az ''Ax''=''m''<math>\cdot</math>''x'' definiál, de nincs alkalmas ''A'', így nincs alkalmas ''m''). | ||
+ | |||
+ | ==Kettősintegrál== | ||
+ | |||
+ | ''T'': a (0,0), (0,1), (1,0) csúcspontú háromszög. | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x,y)=x^2y^6\,</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x} x^2y^6\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{7}[x^2y^7]_{y=0}^{1-x}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{7}x^2(1-x)^7\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{y=0}^1\int\limits_{x=0}^{1-y} x^2y^6\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int\limits_{y=0}^1\frac{1}{3}[x^3y^6]_{x=0}^{1-y}\,\mathrm{d}x=\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{3}y^6(1-y)^3\,\mathrm{d}y=</math> | ||
+ | |||
+ | :<math> | ||
+ | =\int\limits_{x=0}^1\frac{1}{3}(y^6-3y^7+3y^{8}-y^{9} \,\mathrm{d}y=...</math> | ||
+ | |||
<center> | <center> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" |
A lap jelenlegi, 2009. május 14., 21:57-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Totális és folytonos parciális deriválhatóság
Deriválható-e az
függvény az origóban? Folyt. diff.-e, létezik-e a gradiens, létezik-e a Jacobi-mátrix ott?
A deriválhatóság:
ugyanis
Tehát nem folyt diff, mert ha az lenne, akkor deriválható is lenne (egy környzetben létezik a derivált!). Jacobi van, gradiens nincs, mert az a differenciál leképezés skalárinvariánssa lenne ( az az m vektor, melyet az Ax=mx definiál, de nincs alkalmas A, így nincs alkalmas m).
Kettősintegrál
T: a (0,0), (0,1), (1,0) csúcspontú háromszög.
10. gyakorlat | 12. gyakorlat |