Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→1.) |
||
| 5. sor: | 5. sor: | ||
===1.=== | ===1.=== | ||
:<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math> | ||
| + | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ||
| + | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math> | ||
| + | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0), azaz a határértkék 0. | ||
| + | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így | ||
| + | :::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math> | ||
| + | ::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0. | ||
| + | |||
===2.=== | ===2.=== | ||
:<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math> | :<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math> | ||
A lap 2008. február 22., 23:39-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a gyakorlaton konkrét függvények folytonosságát és határértékét vizsgáljuk meg.
Tartalomjegyzék |
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = r
cos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y)
(0,0), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y|
(x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = r
