Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Alapműveletek) |
||
8. sor: | 8. sor: | ||
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés. | Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés. | ||
+ | ==Példák konvergenciára== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens? | ||
+ | |||
+ | :<math>f_n(x)=e^{nx}\quad\quad(x\in \mathbf{R})</math> | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Rögzített ''x''-re ez az | ||
+ | :<math>a_n = (e^x)^n\,</math> | ||
+ | |||
+ | mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény: | ||
+ | <math>[0,+\infty)\to \mathbf{R}\;;x\mapsto \left\{\begin{matrix} | ||
+ | 1,\mbox{, ha}& x=0\\ | ||
+ | 0,\mbox{, ha}& x>0 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
==Alapműveletek== | ==Alapműveletek== | ||
18. sor: | 32. sor: | ||
'''R''' × '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y | '''R''' × '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y | ||
− | : | + | Legyen (a,b) ∈ '''R''' × '''R''' és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||<sub>max</sub> + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><δ ahol |
− | + | :<math>\delta=\min\{1;\frac{\varepsilon}{2K}\,\}</math> | |
− | <math>\delta=\frac{\varepsilon}{2K}\,</math> | + | akkor |
− | + | :<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math> | |
+ | |||
==Határértékfeladatok== | ==Határértékfeladatok== | ||
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek? | Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek? |
A lap 2009. február 20., 19:13-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN; torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) Bε(A)
Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.
Tartalomjegyzék |
Példák konvergenciára
1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
Megoldás. Rögzített x-re ez az
mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
Alapműveletek
Összeadás
R × R R; (x,y) x+y
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor
Szorzás
R × R R; (x,y) xy
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol
akkor
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
2.
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
3.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
4.
5.
6.
7.
8.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
9.
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |