Matematika A2a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
8. sor: 8. sor:
 
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.  
 
Az, hogy a határérték az ''u''-ban ''A'' azt jelenti, hogy a függvénynek  folytonos kiterjesztése ''u''-ban az f(u) = A hozzárendelés.  
  
 +
==Alapműveletek==
 +
 +
===Összeadás===
 +
'''R''' &times; '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x+y
 +
 +
Legyen (a,b) &isin; '''R''' &times; '''R''' és &epsilon;>0. Legyen &delta;=&epsilon;/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><&delta;, akkor
 +
:<math>|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon</math>
 +
===Szorzás===
 +
'''R''' &times; '''R''' <math>\to</math> '''R'''; (x,y) <math>\mapsto</math> x<math>\cdot</math>y
 +
 +
:<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math>
 +
teljesül, ha  ||(x,y)-(a,b)||<sub>max</sub><&delta; ahol
 +
<math>\delta=\frac{\varepsilon}{2K}\,</math>
 +
ahol K = ||(a,b)||<sub>max</sub>+1
 
==Határértékfeladatok==
 
==Határértékfeladatok==
 
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?  
 
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?  

A lap 2009. február 20., 16:14-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.

Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D \to RM, A ∈ RM, u ∈ RN; torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) \Rightarrow Bε(A)

Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.

Tartalomjegyzék

Alapműveletek

Összeadás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x+y

Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor

|x+y-(a+b)| = |x-a + y - b|\leq |x-a|+|y-b| < \varepsilon/2 + \varepsilon/2=\varepsilon

Szorzás

R × R \to R; (x,y) \mapsto x\cdoty

|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon

teljesül, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol \delta=\frac{\varepsilon}{2K}\, ahol K = ||(a,b)||max+1

Határértékfeladatok

Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?

1.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}
1. megoldás (polártranszf.). x = r\cdotcos(φ), y = r\cdotsin(φ):
f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)
Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) \to (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| \leq (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|\cdotsgn(y), így
f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;}
Ha (x,y) \to (0,0), akkor persze |x| \to 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.

2.

f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}
Megoldás.
f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}
Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.

3.

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}
Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}
Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.

4.

f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}

5.

f(x,y)=\frac{x^2y}{\sqrt[5]{x^2+y^2}}

6.

f(x,y)=\frac{x^4y^3}{x^6+y^6}

7.

f(x,y)=\frac{x^4y^2}{x^6+y^6}

8.

f(x,y)=\frac{xy^2}{x^4+y^2}
(Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)

9.

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}
2. gyakorlat pótló gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/3._gyakorlat&oldid=5007”
Személyes eszközök