Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
:<math>f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)</math> | :<math>f(x,y)=\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \quad\quad(x,y)\ne (0,0)</math> | ||
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az <math>(x_n,y_n)=(1/n,0)</math> sorozat képsorozata: <math>\sin(n^2)</math>, aminek nincs határtéke. | függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az <math>(x_n,y_n)=(1/n,0)</math> sorozat képsorozata: <math>\sin(n^2)</math>, aminek nincs határtéke. | ||
+ | |||
+ | Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt '''R'''<sup>2</sup> \to '''R'''<sup>2</sup> függvényt értjük: | ||
+ | |||
+ | :<math>G:(0,+\infty)\times \mathbf{R}^2;\; (r,\varphi)\mapsto (x=r\cos \varphi,y=r\cdot \sin\varphi)</math> | ||
+ | Ezzel a fenti f: | ||
+ | :<math>f(r)=\sin\frac{1}{r^2}\quad\quad(r\ne 0)</math> | ||
+ | |||
+ | Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot: | ||
+ | |||
+ | :<math>\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0\quad\Rightarrow\quad \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)</math> | ||
+ | |||
+ | ==Határértékfeladatok== | ||
+ | Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek? | ||
+ | ===1.=== | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | ::'''1. megoldás''' (polártranszf.). ''x'' = ''r''<math>\cdot</math>cos(φ), ''y'' = ''r''<math>\cdot</math>sin(φ): | ||
+ | :::<math>f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^3\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r^2}=r\cdot\cos^2(\varphi)\sin(\varphi)</math> | ||
+ | ::Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) <math>\to</math> (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0. | ||
+ | ::'''2. megoldás''' (mértani-négyzetes közepek). |''x''||''y''| <math>\leq</math> (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>)/2. Továbbá ''x''<sup>2</sup> = |''x''||''x''| és ''y'' = |''y''|<math>\cdot</math>sgn(''y''), így | ||
+ | :::<math>f(x,y)=\frac{1}{2}\mathrm{sgn}(y)|x|\frac{|x||y|}{\;\frac{x^2+y^2}{2}\;} </math> | ||
+ | ::Ha (x,y) <math>\to</math> (0,0), akkor persze |''x''| <math>\to</math> 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0. | ||
+ | |||
+ | ===2.=== | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | ::'''Megoldás.''' | ||
+ | :::<math>f(x,y)=\frac{\sin(x^2y)}{x^2y}\frac{x^2y}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | ::Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz. | ||
+ | |||
+ | ===3.=== | ||
+ | :<math>f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}</math> | ||
+ | ::'''Megoldás.''' Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az ''y'' = ''mx'' egyenes mentén: | ||
+ | :::<math>f(x,mx)=\frac{xmx}{x^2+m^2x^2}=\frac{m}{1+m^2}</math> | ||
+ | ::Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk. | ||
70. sor: | 103. sor: | ||
:<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math> | :<math>|xy-ab| = |xy- ya + ay - ab|\leq |y||x-a|+|a||y-b| < K\frac{\varepsilon}{2K} + K\frac{\varepsilon}{2K}=\varepsilon</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===4.=== | ===4.=== |
A lap 2009. február 26., 12:21-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) Bε(A)
Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- létezik ,
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de (f(an)) nem konvergens.
Például. Nyilvánvalóan nincs határértéke az
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az (xn,yn) = (1 / n,0) sorozat képsorozata: sin(n2), aminek nincs határtéke.
Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt R2 \to R2 függvényt értjük:
Ezzel a fenti f:
Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:
Tartalomjegyzék |
Határértékfeladatok
Van-e folytonos kiterjesztése az alábbi függvényeknek?
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határértkék 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
2.
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
3.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
Példák konvergenciára
(fn) egyenletesen konvergál a H halmazon az f-hez, ha
A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden n-re van olyan , hogy
azaz létezik xn, hogy
1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
Megoldás. Rögzített x-re ez az
mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden x ∈ (-∞, -δ]-re:
De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (xn), hogy
- :
Alapműveletek
Összeadás
R × R R; (x,y) x+y
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor
Szorzás
R × R R; (x,y) xy
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol
akkor
4.
5.
6.
7.
8.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
9.
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |