Matematika A2a 2008/3. gyakorlat
(→Határértékfeladatok) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Függvényhatárérték) |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot: | Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot: | ||
− | :<math>\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0\quad\Rightarrow\quad \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)</math> | + | :<math>\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0</math> |
+ | :<math> | ||
+ | \quad\Rightarrow\quad</math> | ||
+ | :<math> | ||
+ | \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)</math> | ||
látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r <math>\to</math> 0 esetén f(r,φ)-nek nincs határértéke. | látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r <math>\to</math> 0 esetén f(r,φ)-nek nincs határértéke. |
A lap 2010. február 24., 10:23-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Ezen a konkrét gyakorlaton konkrét függvények konkrét folytonosságát és konkrét határértékét vizsgáljuk meg konkrét módon.
Tartalomjegyzék |
Függvényhatárérték
Definíció Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az u pontban az A, ha ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D x ∈ Bδ(u) Bε(A)
Az, hogy a határérték az u-ban A azt jelenti, hogy a függvénynek folytonos kiterjesztése u-ban az f(u) = A hozzárendelés.
Lényeges, hogy tudjuk annak jellemzését, hogy egy pontban a határérték nem létezik. Ehhez a Heine-féle határértékfogalmat használjuk:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. Ekkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- létezik ,
Ezzel megfogalmazhatjuk annak a feltételét, hogy nem létezik a határérték:
Tétel. Legyen D ⊆ RN, f: D RM, A ∈ RM, u ∈ RN torlódási pontja D-nek. f-nek nincs határértéke u-ban, ha
- létezik olyan sorozat, hogy bár , de (f(an)) nem konvergens.
Például. Nyilvánvalóan nincs határértéke az
függvénynek a (0,0)-ban, mert pl az (xn,yn) = (1 / n,0) sorozat képsorozata: sin(n2), aminek nincs határtéke.
Ezen a példán látszik, hogy milyen fontos szerepe lehet a polárkoordinátár váltásnak. Ezen a következőt R2 \to R2 függvényt értjük:
Az inverz transzformáció majdnem mindenütt:
Ezzel a fenti f:
Érdemes megfogalmazni erre is egy konvergenciakritériumot:
látható, hogy a fenti f-nek nem létezik határértéke, mert r 0 esetén f(r,φ)-nek nincs határértéke.
Határértékfeladatok
Szorzás. M: R × R R; (x,y) xy Ez nemcsak mindenütt rendelkezik határértékkel, de folytonos is.
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol
akkor
Osztás. Q(x,y)=y/x
Mindenütt folytonos, ahol értelmezve van, de nincs hatérértéke másutt, ugyanis:
Polárkoordinátákra áttérve:
ami független r-től, tehát pl a (0,0)-beli határérték attól függ, hogy hogy közelítünk a 0-hoz.
1.
-
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
- Ami 0-hoz tartó szor korlátos, amennyiben (x,y) (0,0) ( (x,y) tart 0 esetén r tart a 0-hoz, a trigonometrikusak megmindenhogy nézve korlátosak), azaz a határérték 0.
- 2. megoldás (mértani-négyzetes közepek). |x||y| (x2 + y2)/2. Továbbá x2 = |x||x| és y = |y|sgn(y), így
- Ha (x,y) (0,0), akkor persze |x| 0 és a többi tényező szorzata korlátos éspedig -1/2 és 1/2 közötti, hiszen a hányados kisebb egyenlő 1. Ezért a határérték 0.
- 1. megoldás (polártranszf.). x = rcos(φ), y = rsin(φ):
Ennek variánsai:
-
- Megoldás.
- Innen pedig a sin(α)/α és az előző határérték miatt tart a 0-hoz.
- Megoldás.
2.
-
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
- Vagyis m=0-ra ez 0-t, m=1-re ez 1/2-et ad. Eszerint nincs a (0,0)-ban határérték, mert van két különböző határértékű függvényértéksorozat, miközben a sorozatokkal a (0,0)-ba tartunk.
- Megoldás. Világos, hogy a polárkoordináta transzformációval az r kiesik és csak φ-től függ. Ezért érdemes a (0,0) pontot több irnyból, sugárirányba megközelíteni, általánosan az y = mx egyenes mentén:
Illetve ennek variánsa:
Nem mindig lehet sugárirányú ellenpéldákat adni:
Ezesetben az
görbe esetén, például az
- y = x2
görbe mentén a nullába haladva:
a végtelenbe megy.
Vagy
Ekkor
- -tel
3.
-
- (Először az x szorzó nélküli tényező korlátosságát igazoljuk!)
Példák eyenletes konvergenciára
(fn) egyenletesen konvergál a H halmazon az f-hez, ha
A konvergencia nem egyenletes, ha létezik ε > 0 szám, hogy minden n-re van olyan , hogy
azaz létezik xn, hogy
1. Hol pontonként konvegens és hol egyenletesen konvergens?
Megoldás. Rögzített x-re ez az
mértani sorzat, mely x>0-ra divergens, x<0-ra és x=0-ra konvergens. A határfüggvény:
Sejtjük, hogy a 0 pontban elromlik az egyenletes konvergencia. Nézzük a (-∞, -δ] intervallumot pozitív deltára. Ekkor az exponenciális monotonitása miatt minden x ∈ (-∞, -δ]-re:
De a (-∞, 0) intervallumon már létezik (xn), hogy
- :
Alapműveletek folytonossága
Összeadás
R × R R; (x,y) x+y
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen δ=ε/2. Ekkor, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ, akkor
Szorzás
R × R R; (x,y) xy
Legyen (a,b) ∈ R × R és ε>0. Legyen K :=||(a,b)||max + 1. Ezért, ha ||(x,y)-(a,b)||max<δ ahol
akkor
2. gyakorlat | pótló gyakorlat |