Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
 
(→Deriváltfogalmak '''R'''<sup>n</sup>-ben)
8. sor: 8. sor:
 
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az '''R'''<sup>3</sup> normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy   
 
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az '''R'''<sup>3</sup> normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy   
 
: <math>\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}</math>
 
: <math>\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}</math>
 +
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
 +
:<math>\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}\,t}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)</math>
 
'''Példa.'''  
 
'''Példa.'''  
−
:<math>\gamma:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad t\mapsto\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}</math>  
+
:<math>\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}</math>  
−
 
+
egy spirál paraméterezése. A deriváltja:
 +
:<math>\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{pmatrix}</math>
 +
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás. 
  
 +
===Parciáles deriváltak===
 
<center>
 
<center>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"

A lap 2008. március 13., 09:41-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Deriváltfogalmak Rn-ben

A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.

Görbék

A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I\to R3; t \mapsto r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:

\lim\limits_{\tau\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)}{\tau}=\mathbf{r}'(t)

feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy

\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}

Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:

\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}\,t}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)

Példa.

\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}

egy spirál paraméterezése. A deriváltja:

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{pmatrix}

amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.

Parciáles deriváltak

pótló gyakorlat 5. gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/4._gyakorlat&oldid=3353”
Személyes eszközök