Matematika A2a 2008/4. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
a (→Parciáles deriváltak)
(→Parciális deriváltak)
16. sor: 16. sor:
 
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.   
 
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.   
  
−
===Parciális deriváltak===
+
===Felületek===
 +
 
 +
Ha adott az
 +
:<math>f:\mathbf{R}^2\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}</math>
 +
kétváltozós függvény, akkor adott (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>) &isin; Dom(''f'') pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
 +
:<math>f(\;.\;,y_0):\{x\in \mathbf{R}\mid (x,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad x\mapsto f(x,y_0)</math>
 +
:<math>f(x_0,\;.\;):\{y\in \mathbf{R}\mid (x_0,y)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad y\mapsto f(x_0,y)</math>
 +
 
 +
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre
 +
az <math>x_0</math> és az <math>y_0</math> pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
 +
:<math>\partial_1f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}</math>
 +
:<math>\partial_2f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}</math>
 +
Geometriailag ezek a (<math>x_0</math>,<math>y_0</math>) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
 +
:<math>\partial_1 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)</math>
 +
:<math>\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)</math>
 +
'''Példa.'''
 +
:<math> f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,</math>
 +
akkor
 +
:<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2</math>
 +
:<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x2y + 3y^2</math>
 +
 
 
<center>
 
<center>
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"

A lap 2008. március 13., 10:22-kori változata

Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.

Deriváltfogalmak Rn-ben

A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.

Görbék

A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I\to R3; t \mapsto r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:

\lim\limits_{\tau\to 0}\frac{\mathbf{r}(t+\tau)-\mathbf{r}(t)}{\tau}=\mathbf{r}'(t)

feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy

\mathbf{r}'(t)=\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\\z'(t)\end{pmatrix}

Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:

\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\,\mathbf{r}}{\mathrm{d}\,t}(t)=\dot{\mathbf{r}}(t)

Példa.

\mathbf{r}:[0,4\pi]\longrightarrow\mathbf{R}^3;\quad \mathbf{r}(t)=\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\\t\end{pmatrix}

egy spirál paraméterezése. A deriváltja:

\dot{\mathbf{r}}(t)=\begin{pmatrix}-\sin(t)\\\cos(t)\\1\end{pmatrix}

amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.

Felületek

Ha adott az

f:\mathbf{R}^2\supset\!\longrightarrow\mathbf{R}

kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:

f(\;.\;,y_0):\{x\in \mathbf{R}\mid (x,y_0)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad x\mapsto f(x,y_0)
f(x_0,\;.\;):\{y\in \mathbf{R}\mid (x_0,y)\in\mathrm{Dom}(f)\}\longrightarrow \mathbf{R};\quad\quad y\mapsto f(x_0,y)

Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:

\partial_1f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}
\partial_2f(x_0,y_0):=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0):=\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0)}{t}

Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:

\partial_1 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)
\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)

Példa.

f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,

akkor

\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2
\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=x2y + 3y^2
pótló gyakorlat 5. gyakorlat
A lap eredeti címe: „http://wiki.math.bme.hu/index.php?title=Matematika_A2a_2008/4._gyakorlat&oldid=3355”
Személyes eszközök