Matematika A2a 2008/4. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Parciális deriváltak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) a (→Felületek) |
||
32. sor: | 32. sor: | ||
:<math>\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)</math> | :<math>\partial_2 f:\quad(x_0,y_0)\mapsto \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)</math> | ||
'''Példa.''' | '''Példa.''' | ||
− | :<math> f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,</math> | + | :<math> f(x,y)= \sin(x) + xy^2 + y^3\,</math>, akkor <math>\begin{matrix}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos(x)+y^2\\ \\\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2xy + 3y^2\end{matrix}</math> |
− | akkor | + | |
− | + | ||
− | + | ||
<center> | <center> |
A lap 2008. március 13., 10:39-kori változata
- Ez az szócikk a Matematika A2a 2008 alszócikke.
Deriváltfogalmak Rn-ben
A többdimenziós terekben több természetes általánosítására lelhetünk az egyváltozós függvények deriváltfogalmának. A következőkben konkrét esetekt nézünk.
Görbék
A görbék lényegében egyváltozós vektorértékű függvények: r: I R3; t r(t). Ezekre a deriváltat definiáló határérték válzatlan alakban írható:
feltéve, hogy ez a határérték egyáltalán létezik az R3 normájában. A geometriai jelentésből az is következik, hogy a fenti határérték ugyanúgy a szelők határértékét, azaz az érintőt adják, mint az egyváltozós függvények esetén. Ekkor t jelentése: idő. A komponensenkénti határértékképzés miatt világos, hogy
Ezt még a görbe idő szerinti paraméterezésének is nevezzük, melynek fenti deriváltja a sebességet adja és vessző helyett ponttal is jelöljük a deriváltat:
Példa.
egy spirál paraméterezése. A deriváltja:
amiből látszik, hogy az [xy] síkra vett vetülete egy egyenletes körmozgás, a z tengelyre eső vetülete pedig egy egyenesvonalú egyenletes mozgás.
Felületek
Ha adott az
kétváltozós függvény, akkor adott (x0,y0) ∈ Dom(f) pont körül ebből származtathatunk két egyváltozós függvényt:
Ezeket parciális függvényeknek nevezzük, és ha differenciálhatóak rendre az x0 és az y0 pontokban, akkor a deriváltjuk a parciális deriváltak:
Geometriailag ezek a (x0,y0) pontban állított [x,z] síkkal illetve az [yz] síkkal vett metszetgörbék, mint egyváltozós függvények deriváltjai. A parciális deriváltfüggvényeket már mint kétváltozós függvényekként definiáljuk:
Példa.
- , akkor
pótló gyakorlat | 5. gyakorlat |